Делители натурального числа. НОД и взаимно простые числа.

БИЛЕТ №1

Натуральные числа. Сложение натуральных чисел. Законы сложения.

Натуральныечисла—это числа,начиная с1,получаемые при счете предметов.

1,2,3,4,5...

Наименьшее натуральное число—1.Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется, поэтому ноль не считается натуральным числом. Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих цифр можно записать любое

натуральное число.

Переместительный законсложения

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В буквенном виде свойство записывается так: a + b = b + a

В этом равенстве буквы a и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

Пример:90 + 20 = 20 + 90 = 110

Сочетательный законсложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу

прибавить сумму второго и третьего числа.

В буквенном виде:(a + b) + c = a + (b + c)

Например:6 + 4 + (3 + 2) = 6 + (4 + 3) + 2 = (6 + 4) + 3 + 2 = 15

Обратите внимание, этот закон действует только, если все действия в примере

сложение!

Если к числу прибавить нуль, получится само число. a + 0 = 0 + a = a

БИЛЕТ №2

Умножение. Законы умножения.

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки множителей произведение не меняется.a · b = b · a

Пример:11 · 4 = 4 · 11 = 44

Сочетательное свойство умноженияЧтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.a · (b · c) = (a · b) · c

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.a · 0 = 00 · a · b · c = 0

Если в произведении один из множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

a · 0 = 00 · a · b · c = 0

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

(a + b) · c = a · c + b ·

Например:8 · (6 + 5) = 8 · 6 + 8 · 5 = 48 + 40 = 88

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде свойство записывается так: (a − b) · c = a · c − b · c

Например:8 · (6 - 5) = 8 · 6 - 8 · 5 = 48 - 40 = 8

При умножение любого числа на          1получается это      же число.a · 1 = a

Например:18 · 1=18

БИЛЕТ №3

Степеньс натуральным показателем

Степенью натурального числа a называют произведение нескольких множителей,

каждый из которых равен а.

Например:

Квадрат числа а

Произведение a умножить на a называют второй степенью или квадратом числа a.

Например:4

Квадраты первых десяти натуральных чисел вы легко вспомните с помощью таблицы умножения:

И другие квадраты чисел также можете легко найти. Куб числа а

Произведение числа a на a и на a называют третьей степенью или кубом числа a.

Записывают таким образом, . Читают a в кубе или a в третьей степени.

Например:

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел:

БИЛЕТ №4

Делители натурального числа. НОД и взаимно простые числа.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.

Делительнатурального числаa—это такое натуральное число,которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12

Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители.

Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольший из делителей этих чисел — 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b.

Наибольший общий делитель(НОД)двух данных чисел

a и b —это наибольшее число,на которое оба числа a и b делятся без остатка. Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:НОД(a;b).

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример.

Д (7) = {1, 7}

Д (9) = {1, 9} НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми числами.

Взаимно простые числа—это натуральные числа,которые имеют только

один общий делитель — число 1.

Их НОД равен 1.