Остаточную сумму квадратов ошибки 1

             Cz 1 = Cу1 – C _А – Cp = 201.2- 136.9-37.8 = 26.5 

6.3 Остаточная сумма квадратов ошибки 2

                Cz 2 = Cz – Cz1 = 124.7-26.5 = 98.2

7  Составляется таблица дисперсионного анализа двухфакторного опыта

Таблица 4- Результаты дисперсионного анализа двухфакторного опыта

Дисперсия	Сумма квадратов	Степени свободы	Средний квадрат	Fф	F05
Общая C	953,6	(N-1) 39	-
Повторений C р	37,8	3	-
Известкования (A)	136,9	1	136.9	17.5	10.13
Ошибка 1 C z1	26,5	(lA-1) (n-1) =3	8.83
Фосфора ( B)	610,6	4	152.65	37.32	2.78
Взаимодействия  C AB	43,6	(lA-1)(lB-1) =4	1090	2.66	2.78
Ошибка 2 Cz2	98,2	24	4.09	-	-

Значение критерия Фишера берут из таблицы по числу степеней свободы и уровню значимости для факторов А, В и АВ (числитель) и соответствующих им ошибок (знаменатель).

Из таблицы следует, что эффект известкования и фосфора доказан (Fф. > F 05), а взаимодействие несущественно (Fф < F05).

8.Проводится оценка существенности частных различий:

    1. делянки первого порядкаошибка средней Sx = √ S² 1: n = √8.83: 4 = 1.49 т/га ; ошибка разности Sd = √2S² 1 : n =√2x 8.83 : 4 = 2.1 т/га; НCP₀₅ = t₀₅ x sd = 3.18 x 2.10 = 6.68 т/га; значение t₀₅ = 3,18 берется из таблицы для 3 степеней свободы ошибки 1 и   уровня значимости.      

2. делянки второго порядки (дозы фосфора)ошибка средней Sx = √S2 : n = √4.09 : 4 = 1.0 т;ошибка разности Sd = √2S² : n = √2x4.09 : 4 = 1.41т ;НCP₀₅ = t₀₅ x S ²d = 2.06 x 1.41 =2.90 т/га,значение=2,06 при 24 степенях свободы для ошибки 2.

9.  Оценка существенности главных эффектов:

     для главного эффекта известкования А Sd = √2S ² : nlB = √ 2x8.83 : (4x5) = 0.94т,НCP₀₅ = t ₀₅Sd = 3.18x 0.94 = 2,98т/га.

    для главного эффекта фосфора В Sd = √2S ² : nld = √2x4.09 : (4x2) = 1.0т, НCP₀₅ =t_05*Sd =2.06x1.0 = 2.06т/га.

Таблица 5 - Влияние известкования и доз фосфора на урожайность сена клевера лугового, ц/га

Известкование (фактор А)	Дозы фосфора (фактор В)					Среднее по А
	Р 0	Р 20	Р40	Р 60	Р 80
Без известкования	23,0	26,0	29,8	31,8	30,8	28,3
Известкование	24,8	29,3	32,5	34,8	38,5	32,0
Средняя по фактору В	23,9	27,7	31,2	33,3	34,7
Факторы	А	В
НCP05 гл. эффектов	2,98	2,06
НCP05 част.р азлич.	6,68	2,90

Полученные значения НСР₀₅ оцениваются:

НСР₀₅ = 6,68 т/га – значимость разностей между частными различиями по делянкам первого порядка (известкование) при разных дозах фосфорного питания -24,8-23,0 = 1,8 ц/га –действие извести без применения фосфора несущественно, так как отклонение меньше НСР₀₅ (6,68); 38,5-30,8 = 7,7ц/га – действие извести при внесении фосфора в дозе 80 кг/га дает существенную прибавку по сравнению с не известкованным фоном – отклонение больше НСР₀₅ и т. д.

НСР₀₅ = 2,90 т/га – значимость разницы между частными средними по делянкам второго порядка – эффект доз на известкованном и не известкованном фоне -26,0-23,0 = 3,0 ц/га – при отсутствии известкования внесение фосфора в дозе Р₂₀ обеспечивает существенную прибавку по сравнению с вариантом без внесения фосфора, так как отклонение больше НСР₀₅ (2,90) и т.д.

НСР₀₅ = 2,98т/га - значимость среднего главного эффекта известкования 32,0-28,3 = 3,7 ц/га. Действие извести существенно, так как отклонение больше НСР₀₅.

НСР₀₅ = 2,06 т/га – значимость среднего главного эффекта независимо от фона. 27,7-23,9 = 3,8 ц/га – внесение фосфора в дозе Р20 обеспечивает достоверную прибавку по сравнению с вариантом Р0,так как отклонение больше НСР₀₅; 31,2-27,7 = 3,5 ц/га – внесение фосфора в дозе Р₄₀ обеспечивает достоверную прибавку по сравнению с дозой Р₂₀, так как отклонение больше НСР₀₅ и т. д.

Приложение 6

Дисперсионный анализ данных полевого трехфакторного опыта, проведенного методом расщепленных делянок

      Пример 3.В трехфакторном опыте с картофелем изучено действие на делянках первого порядка трех доз азота (1-120., 2- 90, 3-150 кг. д.в. на га.); на делянках второго порядка - два способа посадки (1. гладкая посадка, 2. гребневая посадка); на делянках третьего порядка – две схемы посадки (1. 70х25 см., 2.70х30 см.). Дисперсионный анализ трехфакторного опыта с тремя градациями фактора А (а=3) и двумя градациями факторов В и С (в=2 и с=2), поставленного методом расщепленных делянок в трех повторениях включает следующие этапы:

Таблица 1 - Поделяночная урожайность картофеля, т/га

1. В исходной таблице определяем суммы и средние, правильность вычислений проверяем по равенству ∑ Р=∑ V =∑X =880,7

2. Определяем общее число наблюдений          N=I_AI_BI_C *n= 3х2х2х3 =36

3. Корректирующий фактор C= (∑X)² : N = (880,7)² : 36 =21545,35

4. Общее варьирование C_Y = ∑X² - C = (20,1²+23,0² +------+30,1²) –                                    21545,35 = 1205,46 5. Варьирование повторений C_P = ∑P² : I_AI_BI_C – C =(295,3²+319,2²+266,2²) : 3х2х2 – 21545,35 = 117,41

6. Варьирование вариантов C_{V =} ∑V² : n – C =(61.6²+78.9^{2 +--------+}103²) :3 -21545,35 = 974,83

7. Варьирование остатка Cz = C_y –  C_P – C_V = 1205.46-117.41-974.83 = 113.22

8.Для разложения общей суммы квадратов для вариантов 

(C_V =974.83) на компоненты – суммы квадратов для главных эффектов фактора A. B. C и суммы квадратов для взаимодействий AB. AC. BC и ABC, составляется вспомогательная таблица 2, куда вписываются суммы урожаев по вариантам из таблицы 1.

Таблица 2 - Суммы урожаев по вариантам

Суммы квадратов для главных эффектов и их взаимодействий определяется в следующем порядке:

А) Определяются суммы квадратов для фактора А, В и взаимодействия АВ. Суммы А₁ В₁, А₁ В₂ и т. д. Из таблицы 2 записываются в следующие клетки таблицы 3 с двумя входами и определяются суммы А и суммы В, исключая фактор С.

Таблица 3 – Определение сумм квадратов отклонений по фактору А,В и взаимодействию АВ

Дисперсионный анализ данных этой таблицы позволяет определить:

Общее варьирование С_А+В+АВ (внутренняя часть таблицы),

       Варьирование фактора А и В. Взаимодействие АВ находится по разности С_АВ = С_А+В+АВ –С_А С_В.   С_А+В+АВ = (140,5² +168,1² +108,8 ²+125,4² +142,0² +195,9²) : I_Cn = 134101,27 : 2х3 – 21545,35 = 804,86 при (6-1)=5 степенях свободы;

      С_А = ∑А² : I_BI_Cn – C =(308.6²+234.2²+337.9²) :2х2х3 -21545,35 =476,32 при (I_А-1) ==(3-1) = 2 степени свободы.

      С_В = ∑В² : I_AI_Cn – C = (391.3²+489.4²) :3х2х3 -21545,35 =267,32 при (I_B – 1) = (2-1) =1 степени свободы,

      С _{AB =} C_A+B+AB – C_A – C_B =804.86-467.32 – 267.32 =61.22 при (I_A -1) (I_B -1) =(3-1) (2-1) =2 степени свободы.

       В) Определяются суммы квадратов для фактора С и взаимодействие АС. Суммируя суммы урожаев по колонкам таблицы 2 чтобы исключить действие фактора В, находятся суммы для всех сочетаний факторов А и С; А₁ С₁ =136,5 (сумма чисел 61,6+74,9 табл. 2); А₁ С₂ =172,1 ( сумма чисел78,9+93,2);    

А₂ С₁ =110,8 (сумма чисел 48,7+62,1); А₂ С₂ =123,4 (сумма чисел 60,1+63,3); А₃ С₁ =157,7(сумма чисел 65,0+92,7); А₃ С₂ = 180,2 (сумма чисел77,0+103,2). Суммы вписываются в таблицу 4 и определяются суммы А и С.

Таблица 4- Определение сумм квадратов отклонений по фактору А, С и взаимодействию АС

Дисперсионный анализ данных этой таблицы позволяет делить общее варьирование С_А+С+АС (внутренняя часть таблицы), варьирование фактора А (сумма квадратов определена ранее С_А= 476,32) и фактора С. Взаимодействие АС находится по разнице

С_А+С+АС = (136,5²+172,1²+----180,2² ): I_n – C = 133096,166 : 2х3 – 21545,35 =6,37

        С_С = ∑С²: I_AI_Bn – C =(405,0²+475,7²) : 3х2х3 -21545,35 = 138,84 при (I_{C -}1) = (2-1) = 1степени свободы.

       С_{АС =} СА_+С+АС -С_А – С_С  =637,35- 476,32-138,84=22,19 при (I_A -1) (I_C -1) = (3-1) (2-1) = 2 степенях свободы.

С) Определяются суммы квадратов для взаимодействия ВС и АВС. Суммируя суммы урожаев по колонкам таблицы 2 так, чтобы исключить действие на результативный признак фактора А находятся суммы для всех сочетаний фактора В с С:

       В₁С₁ =175,3 (61,6+48,7+65,0);

       В₂С₁ =229,7 (74,9+62,1+92,7);

       В₁С₂ =216,0 (78,9+60,1+77,0);

       В₂ С₂ =259,7 (93,2+63,3+103,2).

Полученные суммы записываются в таблицу 5 и определяются суммы С и В

Таблица 5 –Определение суммы квадратов взаимодействия ВС

  Анализ данных этой таблицы позволяет определить общее варьирование, варьирование фактора В и С.

   Взаимодействие ВС находится по разности:

  С_В+С+ВС= (175,3²+216,0²+229,7²+259,7²) : I_{A n} –C = 197592.2763[3 -21545.31 =409.35

  C_{B =} 267.32и С_С = 138,84 (Эти суммы определены ранее)

   С_ВС = С_В+С+ВС –С_В- С_С =409,35-267,32-138,84 =3,19

при (I_B -1) (I_c-1) = 1 степени свободы.

        Сумма квадратов для тройного взаимодействия АВС (дозы азота, способы посадки, схема посадки) находятся по разности:

        С_АВС = C_V –C_A – C_B – C_C – C_AB –C_AC – C_BC = 974.83-476.32-267.32-138.84-61.22-82.19-3.19 =5,75 при (I_A -1) (I_B -1) (I_C -1) =(3-1) (2-1) (2-1) =2 степенях свободы.        

9. В опытах с тройным расщеплением имеется три категории

 ошибок: одна для вариантов А, которые изучаются на делянках первого порядка (ошибка 1), вторая (ошибка 11) для вариантов В и взаимодействия АВ и третья (ошибка 111) для вариантов С и взаимодействия АС, ВС и АВС. Чтобы определить эти ошибки, общее остаточное варьирование С_Z разлагается на три компонента, указанным категориям ошибок:

С_Z = C_{Z 1} + CZ ₁₁ +C_{Z 111} 

         Расчеты ведутся в следующей последовательности.

    а) Определение ошибки 1 Составляется таблица 6, в которую записываются суммы урожаев по делянкам первого порядка. Так, для первой делянки первого повторения сумма равна 20,1+26,4+23,7+30,4=100,6; второго повторения 23,0+296+28,0+36,1 =116,6 и т. д.

Таблица 6 – Сумма урожаев по делянкам первого порядка для вычисления ошибки 1

Проверяется правильность вычислений по равенству: ∑Р =∑А = ∑Х =880,7

    Внутренняя часть таблицы 6 позволяет определить общую сумму квадратов С_{Y 1}, которая включает варьирование фактора А, варьирование повторений Р и случайное варьирование для делянок первого порядка. Вычитая из С_{Y 1} значение С_Р =117,41 и С_А =476,32, которые вычислены ранее, находится сумма квадратов для ошибки 1

     С_{Y 1} = ( 100.6+116.6+ ------+ 98.0) I_В I_С –С =88751,31: 2х2 -21545,35 =642,48

      C_{Z 1} =C_{Y 1} –C_P – C_A =642.48-117.41-476.32 =48.75при (I_A -1) (n -1) = (3-1) (3-1) = 4 степенях свободы/

      в) Определение ошибки 11 Составляется таблица 7, в которую записываются суммы урожаев по делянкам второго порядка (способы посадки0. Для первой делянки первого повторения сумма равна 20,1+26,4 =46,5; второго повторения 23,0+29,5 =52,5 и т.д.

Таблица 7 - Суммы урожаев по делянкам второго порядка для вычисления ошибки 11

Дисперсионный анализ внутренней части этой таблицы позволяет определить общую сумму квадратов С_{Y 11,} включающую варьирование повторений С_Р,_,доз азота, способов посадки и их взаимодействия С_А+В+АВ и случайное варьирование для делянок первого С_{Z 1} и C_{Z 11} второго порядков. Вычитая из C_{Y 11} значения С_Р , С_А+В+АВ  и С_{Z 11}, найденные ранее, определяется сумма квадратов для ошибки 11 :

   С_{Z 11} = (46.5+52.5+----+56.3) IC-C =45067,69:2 – 21545,35 =988,49 при 18-1 = 17 степенях свободы;

  С_{Z 11} C_{Y 11} - C_P - C_A+B+AB –C_{Z 1}= 988,49-117,41-804,86-48,75 =17,47 Число степеней свободы находится по разности 17-2-5-4 =6

   с) Определение ошибки 111.

   Сумма квадратов отклонений для ошибки делянок третьего порядка находится по разности:

   С_{Z 111} =C_Z –C_{Z 1}- C_{Z 11}= 113.22-48.75-17.47=47.0

      После этого составляется таблица дисперсионного анализа и проверяется нулевая гипотеза по F-критерию

Таблица 8- Результаты дисперсионного анализа трехфакторного опыта 3х2х2, поставленного методом расщепленных делянок

Значения F₀₅ берутся из таблицы 1. приложений для степеней свободы главных эффектов и взаимодействий (числитель) и соответствующих им ошибок (знаменатель)

    Эффекты А,В,С и взаимодействий АВ (существенны) доказаны (F_Ф > F ₀₅ ); взаимодействия АС, ВС и АВС не существенны (F_Ф< F ₀₅)

10.         Оценка существенности частных различий:

а) делянки первого порядка (дозы азота)

S_X ¹= √S²₁ : n =√12.19 :3 =2,01т

S_d¹ =√2S²₁ : n=√2х12,19:3 =2,85т

НСР₀₅ =t₀₅ Sd =2,78х2,85=7,9т/га По таблице приложений при 4 степенях свободы для ошибки 1 значение t₀₅ = 2,78

        В) делянки второго порядка (способы посадки взаимодействие доза азота х способ посадки):

    Sx¹¹ =√ S²₁₁ : n =√ 2.9 : 3 = 0,98т

       S_d¹¹ =√ 2S²₁₁ : n =√ 2х2,9 :3 = 1,32т

        НСР₀₅ =t₀₅ S_d¹¹¹=2,45х 1,32 =3,23т/га

           С) Делянки третьего порядка (схема посадки)

        S_x¹¹¹ =√ S²₁₁₁ : n =√ 3,9: 3 =1,14

          S_d¹¹¹ _{=√ S}²_{111 : n =√ 2х3,9 : 3 =1,61}

     НСР₀₅ =t₀₅ S_d¹¹¹ =2,18 х 1,61=3,52т/га при12 степенях свободы

       6) Оценка существенности главных эффектов и взаимодействия:

        а) для главного эффекта дозы азота А

        S_d =√ 2S ²₁ : I_в I_c n =√2х 1,21:2х3х3 =1,42

     НСР₀₅ = t₀₅S_d =2.78х1,42 =3,96т/га

              Б) для главного эффекта способа посадки В и взаимодействия.

      S_d -√ 2S²₁₁ :I_AI_B n =√ 2х2,91: 2х3х3 =0,56

      НСР_{05 =}t₀₅ S_{d =}2,45х0,56 =1,39т/га

          В) для главного эффекта схема посадки С и взаимодействия

        Sd = √ 2S²₁₁₁ : I_A I_B n =√ 2х3,9:2х3х3 =0,65

    НСР_{05 =}t₀₅ S_d =2,18х0,65 =1,43 т/га

Результаты опыта – а также частные средние урожаи и средние по факторам А,В,С, а также итоги статистического анализа представляются в виде таблицы 8

Таблица 8 – Урожайность картофеля (т/га) в зависимости от дозы азота, способа посадки и схемы посадки

       НСР₀₅¹=7,9 т/га; НСР₀₅¹¹=3,23 т/га; НСР₀₅¹¹¹=3,52 т/га - частные различия.

  Полученные в итоге статистической обработки величины НСР используют для оценки:

   НСР₀₅ =7,92 т/га – значимость разностей между частными средними по делянкам первого порядка – эффект дозы азота при разных способах посадки и схемах посадки( а₂ в₁ с₁- а₁ в₁ с₁ =16,2-20,5 =- 4,3 т и а₃ в₁ с₁ – а₁ в₁ с₁ = 21,7 -20,5 =1,2; а₂ в₂ с₁ – а₁ в₂ с₁ = 20,7-25,0 = -4,3 т/га) и т. д.;

    НСР₀₅ = 3,23 т/га – значимость разностей между частными средними по делянкам второго порядка – эффект способов посадки при разных дозах азота и схемах посадки (а₁ в₂ с₁ – а₁ в₁ с₁ = 25,0-20,5 = 4,5; а₃ в₂ с₁ – а₁ в₁с₁ = 30,9-21,7 = 9,2 т/га) и т. д.;  

   НСР₀₅ = 3,52 т/га значимость разностей между частными средними по делянкам третьего порядка – эффект схем посадки при разных дозах азота и способах посадки (а₁ в₁ с₂ - а₁в₁с₁ = 26,3-20,5 = 5,8; а₁ в₂ с₃ – а₁ в₂ с₁ = 30,1-25,0 = 6,1т/га и т. д)

   НСР₀₅ = 3,96 т/га – значимость главных эффекта фактора А –доза азота(А₂ –А₁ = 19,5-25,7 = - 6,2; А₃ – А₂ = 28,2 – 19,5 = 8,7 т/га).

   НСР₀₅ = 1,9 т/га – значимость главного эффекта фактора В – способ посадки(В₂ – В₁ = 27,2-21,7 =5,5 т/га и взаимодействия АВ;

  НСР₀₅ = 1,43 т/га – значимость главного эффекта фактора С – схема посадки(С₂ – С₁ =26,4-22,5 = 3,9 т/га и взаимодействия АС, ВС и АВС)

                         Приложение 7

Значение критерия F на 5%-ном уровне значимости (вероятность 95%)

Приложение 8

Значение критерия t

Учебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Основы научных исследований в агрономии" для студентов направление подготовки 35.03.04 "Агрономия". 

Составитель – Мингалев Сергей Кузьмич

Подписано в печать 25.03.2018 Формат 68 х 84 1/16

Усл.1,5 п.. л.

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная.

Тираж 25 экз. Заказ № 105

      620219, г.Екатеринбург, ул.К.Либкнехта, 42

                     ФГБОУ «Уральский государственный

                                                 аграрный университет»