Генеральной совокупности значений случайной величины»

Множество однородных объектов, подлежащих статистическому изучению, называется статистической совокупностью. Вся совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Ввиду ее большого объема из нее извлекают выборку объема , хорошо представляющую генеральную совокупность.

Цель работы - получение выводов о законе распределения генеральной совокупности X и ее характеристиках на основании изучения выборки.

Дан массив чисел , который является выборкой из генеральной совокупности Х случайных чисел (случайной величины Х).

, число значений .

Задание 1. Построение эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения случайной величины Х.

1.1 Разбить выборку на частичные интервалы. Найти в заданном массиве чисел  и . Для удобства вычисления эти значения целесообразно округлить и взять общий интервал , где . На этом интервале находятся все случайные числа .Интервал  делим на K равных частичных интервалов. Число K на практике принимают  с округлением до целого. Для заданного массива . Длина каждого частичного интервала   (1.2), .

1.2 Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.

Для этого сначала подсчитаем  количество чисел заданного массива, попавших в i-ый интервал .

Относительная частота  (аналог вероятности попадания случайной величины Х в i-ый интервал).                                                                                                (1.3)

Плотность относительных частот  (аналог теоретической плотности вероятностей)

                                                                                                                                                      (1.4)

Накопленные частоты  (аналог значений теоретической функции распределения вероятностей)

                             , т.е.  (1.5)ит.д.                            

Каждый интервал будет представлять значение его середины . Представим результаты вычисления в таблице.Таблица 1.

№ интервала	Интервалы		Подсчет числа значений
1		2		2	0,08	0,02	0,08
2		6		5	0,20	0,05	0,28
3		10		11	0,44	0,11	0,72
4		14	•••• ••	6	0,24	0,06	0,96
5		18	•	1	0,04	0,01	1

1.3-1.4. а) Гистограмма накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения вероятностей (рисунок 1)

 б) Гистограмма плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения (плотности вероятностей) (рисунок 2)

По оси ох откладываем интервалы значений случайной величины Х, по оси у – значения  и  в i-ом интервале(масштабы по оси ох и оу различные). Полученные ступенчатые фигуры, соответственно на рис. 1 и рис. 2, называются гистограммами.

а) На рисунке 1: точки, соответствующие  в правой границе i-ого интервала, соединяем плавной линией. Получим график эмпирической функции распределения вероятностей функции распределения   .

Рисунок 2. Гистограмма плотности относительных частот . График эмпирической функции плотности распределения  (или плотности вероятностей). График теоретической функции плотности вероятностей .

Функция распределения -неубывающая, изменяется от 0 до 1.

Вероятность попадания выборки   в интервал  равна разности значений функции распределения   в этих точках.

Площадь, ограниченная всем графиком функции плотности распределения, равна 1.

По виду графика плотности распределения вероятностей (в виде колокола) можно сделать

предположение, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Задание 2. Получение статистических оценок параметров распределения случайной величины Х. Вычисление оценок математического ожидания (среднего значения), дисперсии и среднеквадратического отклонения.

1. Оценкой математического ожидания случайной величины Х является выборочное среднее                       (2.1)

Математическое ожидание генеральной совокупности .

2. Оценкой дисперсии случайной величины Х является выборочная дисперсия

             или                                                           (2.2)

Оценка дисперсии .

3. Оценкой среднеквадратического отклонения случайной величины Х является выборочное среднеквадратическое отклонение

                                                                                                                                        (2.3)

,

Задание 3. Построение теоретической кривой плотности вероятностей и теоретической кривой функции распределения.

Мы предположили, что случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем математическое ожидание её , среднеквадратическое отклонение .

Функция плотности вероятностей нормального распределения

                                                                                                                                  (3.1)

Обозначим  (3.2), тогда   (3.3), где  – функция Гаусса. Для её значений существует таблица  (см. приложение таблица I).Причем . Тогда теоретическая вероятность попадания значения случайной величины в i-ый интервал  (3.4) (аналог формулы 1.4 ). Теоретические частоты  вычисляются по формуле  (3.5) (аналог формулы 1.3 ). Значение теоретической функции распределения найдём по формуле , т.е.    (3.6) (аналог формулы 1.5). По формуле (3.6) найдём значение теоретической функции распределения  в конце каждого i-го интервала.

Внесем полученные значения в таблицу.

Таблица 2

№ интервала
1	2	-2,05	0,049	0,013	0,052	1,3	0,052
2	6	-1,0	0,242	0,062	0,248	6,2	0,30
3	10	0,04	0,4	0,104	0,426	10,5	0,726
4	14	1,08	0,22	0,057	0,228	5,7	0,954
5	18	2,13	0,041	0,011	0,044	1,1	0,998

Нанесем полученные значения  на рисунок 1 (в конце каждого i-ого интервала и соединим полученные точки) и  на рисунок 2 (в середине каждого i-ого интервала и соединим полученные точки) (используем другие обозначение, _ _ _ _ _).

Сравнения эмпирических и теоретических кривых (они близки) визуально подтверждает предположение, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Задание 4. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х с помощью критерия Пирсона. Уровень значимости - это допустимая вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу. .

Делаем по следующему плану:

1. Выдвигаем гипотезу : случайная величина Х распределена по нормальному закону с  и .

2. Альтернативная гипотеза : случайная величина Х не распределена по нормальному закону.

3. Выбираем критерий проверки гипотезы – критерий Пирсона  (хи-квадрат) .

4. Вычисляем фактическое значение критерия Пирсона, при этом  из таблицы 1,  из         таблицы 2.

5. По таблице II из приложения находим критическое значение ,  – уровень значимости, это допустимая вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу, у нас .

. Здесь  – число интервалов,  – число параметров, определяющих проверяемый закон; для нормального закона  (  и ). Для данного массива . По таблице II из приложения находим .

6. Строим критическую область , т.е. область значений критерия , при котором гипотеза  отвергается.

    Откладываем фактическое значение . Так как значение  не попало в критическую область, то принимаем гипотезу .

Задание 5. Вывод.

Была проведена статистическая обработка массива чисел , который является выборкой из генеральной совокупности Х.

5.1 Были построены графики эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности вероятностей.    

5.2 По виду графика эмпирической функции плотности вероятностей было сделано предположение о нормальном законе распределения генеральной совокупности Х.

5.3 Были определены выборочные среднее значение  и среднеквадратическое отклонение .

5.4 Исходя из предположения, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону с параметрами  и , были вычислены теоретические значения функции плотности вероятностей и функции распределения и построены графики  и . Была отмечена близость теоретических и эмпирических графиков.

5.5 С помощью критерия Пирсона была проверена гипотеза  о том, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону. Гипотеза  подтвердилась.

Итак, генеральная совокупность Х, представленная выборкой, распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением .

Варианты контрольной работы № 11 (№ 13 для ЗРФ)

Задание 1: Построение эмпирической функции распределения и эмпирической функции плотности распределения случайной величины Х

1.5 Разбить выборку на частичные интервалы.

1.6 Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.

1.7 Построить на рисунке 1 гистограмму накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения.

1.8  Построить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения.

Задание 2: Статистические оценки параметров распределения случайной величины. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

Задание 3: Построение теоретической кривой плотности распределения и теоретической кривой функции распределения.

3.1 Сделать предположение о законе распределения случайной величины по виду графика эмпирической функции плотности распределения.

3.2 Вычислить значение теоретической функции плотности распределения в середине каждого частичного интервала, вероятности попадания случайной величины в каждый интервал, теоретическую функцию распределения.

3.3 Нанести полученные значения теоретической функции распределения и теоретической плотности распределения на рисунки 1 и 2 и построить соответствующие графики функций.

Задание 4: Проверка гипотезы о выбранном законе распределения случайной величины по критерию Пирсона. Взять уровень значимости  (n – номер варианта задания) .

Задания 5: Написать выводы о результатах обработки выборки.

№ вар-та		Выборка
1	0,01	0,2; 17,2; 8,5; 25; 30; 39,8; 14; 8,5; 10,3; 28,2; 15,1; 21,2; 23; 22,8; 12; 25,8; 22,1; 29,2; 30,8; 26,1; 17,1; 18,9; 19,5; 23,1; 23,8
2	0,01	0,3; 7,1; 19,2; 29,9; 13,5; 5,1; 20,5; 7,8; 14,5; 17,1; 18,4; 16,5; 7,1; 14,2; 22,5; 23,8; 12,5; 19,4; 11,8; 13,6; 7; 14; 17; 23; 15
3	0,01	2,5; 3; 9,8; 1,5; 4,2; 5; 5,5; 2,7; 0,4; 8,5; 3,1; 4,8; 5,7; 3; 3,5; 1,8; 7,1; 6,5; 4,8; 3,8; 7; 5; 4,2; 6,8; 5,8
4	0,05	13,5; 17,1; 17; 7; 10; 20; 21; 29,9; 5; 0,5; 9; 15; 22; 25; 23; 14; 19; 13,2; 14,4; 7,5; 8,39; 11,8; 14,5; 15,8; 16,9
5	0,01	17; 0,6; 5; 9,5; 10; 11,5; 12,5; 10,1; 6; 7,2; 10,2; 19,4; 13,1; 15; 15,8; 14,1; 10,2; 11,7; 8,5; 4,8; 9,1; 10,5; 11,2; 13,1; 10
6	0,01	8,5; 6,1; 7,2; 4,5; 5,8; 2,3; 3; 0,01; 9,9; 3,5; 3,9; 5; 4,9; 6,3; 5,2; 4,8; 5,6; 4,2; 1,2; 6,2; 7,1; 5,2; 4,3; 6,8; 4,6
7	0,05	19,6; 9,1; 4,8; 17; 0,2; 2; 5; 6; 6,5; 3,1;8,5; 10; 11; 13; 14,2; 10,5; 11,7; 12,5; 14,6; 4,8; 9,1; 11,3; 15; 9; 10,2
8	0,01	-3,9; 0,5; 1; 1,5; 3; 2,5; 5,9; 5; 3,2; 1; 1,5; -1; -0,5; -3; 0,5; 1,2; 0,4; -1;    -1,5; 0,8; 0,9; 1,2; 3,2; 0,8; 1,2
9	0,05	16; 17; 15; 0,2; 6,5; 7,2; 8; 18,2; 19; 21; 22; 25; 29,5; 14; 16,2; 17,6; 16,8; 6,5; 14,8; 11; 19,3; 13,5; 22; 21; 15,5
10	0,01	39,8; 25; 26; 17; 18; 9; 10; 0,5; 1; 8,5; 17,8; 26,1; 29; 18,5; 20; 21; 22; 28; 12,1; 14,2; 15; 18,9; 15; 23; 23,5

Контрольные вопросы по теме

 «Статистическая обработка выборки из генеральной