Контрольной работы № 12 для ЗРФ

Пример к заданию № 1:

а) Представить функцию , где  в виде ;

б) Проверить, является ли она аналитической;

в) Если   – аналитическая, то найти производную в точке .

а)

 Следовательно, ; .

б) Проверяем аналитичность по формулам Коши-Римана (по 4.3)  и . Напомним, что беря частную производную по одной переменной, считаем другую переменную – постоянной. 

(х – постоянная, тогда  - тоже постоянная)

Очевидно, .

(у – постоянная).

Как видно . Следовательно, функция аналитическая всей комплексной плоскости z.

в) Находим производную в точке . .

Пусть , тогда .

По (3.3) ;

.

К заданию № 2 дадим 3 примера:

Пример 1 к заданию № 2:

Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки .

Надо получить разложение по степеням .

. По правилу 5.2.5. ;

;  или ;

; .

Разложим в ряд функцию  по 5.2.2

1) Внутри круга с центром в точке  радиуса .

 при  можно воспользоваться формулой (6) рядов Маклорена для .

Тогда  при .

2) Вне круга с центром в точке  радиуса .

 при  по формуле (6) для рядов Маклорена для .

 и

, при .

Пример 2 к заданию № 2:

Разложить функцию  в окрестности точки . Воспользуемся формулой (3) таблицы рядов Маклорена для .

Пример 3 к заданию № 2:

Разложить функцию  в окрестности точки .

Преобразуем .

Воспользуемся формулами (2) и (3) таблицы рядов Маклорена для .

Приложения к контрольной работе № 12

I Таблица основных производных

,  – функции от х , с, а, const – постоянные числа,

1–1) ; 1–2)  ; 1–3) ; 1–4) ;  

1–5) .

Основные правила дифференцирования

2–1) ; 2–2) ; 2–3)  (с – число); 2–4)

II Таблица рядов Маклорена  в окрестности , – функция от z,

№	Ряд	Интервал сходимости
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Варианты заданий контрольной работы № 12 для ЗРФ

Тема: «Элементы теории функций комплексного переменного»

Задание 1:

а) Представить заданную функцию , где  в виде ;

б) Проверить является ли  аналитической;

в) Если   – аналитическая, то найти значение её производной в точке .

Задание 2: Разложить функцию  в ряд Лорана в окрестности точки .

 

№ вар-та
1
2				1
3		1		0
4
5				2
6				1
7				0
8				1
9
10				1

 

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒