Контрольная работа № 13 (I)

Краткая теория и методические указания.

1. Случайные события

Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах).

Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m – число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов .

События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого.

События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Суммойсобытий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе).

 Произведением (пересечением) событий  называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и В (и А и В).

Событие  называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . .

Вероятность суммы событий А и В .

Для несовместных событий А и В : .

1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий .

1.11 Условной вероятностью  называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий .

1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События  – несовместные и . Тогда .

1.14 Формула Байеса или апостериорные вероятности гипотез.

Пусть событие А, которое могло произойти с одной из гипотез , произошло в результате опыта. Априорные (до опыта) вероятности гипотез были равны . Апостериорные (после опыта) вероятности гипотез  при том, что событие А произошло, вычисляются по формулам , где  – вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности 1.13 . Апостериорные вероятности гипотез  не равны априорным вероятностям .

2. Случайные величины (СВ)

Случайной величиной Х  называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.

Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом .

2.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале  равна .

Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные точки числовой оси.

2.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений

				…
				…

В первой строке таблицы указаны все значения х ДСВ Х, а во второй строке – вероятности  принятия значения . .

2.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой . .

График  представляет собой ступенчатую линию.

Непрерывные случайные величины (НСВ). НСВ принимает свои значения непрерывно на некотором интервале числовой оси.

2.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения , .

2.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле . График  НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. .

2.4.3 Площадь под графиком  равна 1, так как .

2.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале  равна . При . Вероятность отдельного значения равна нулю.

3. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание  – это среднее значение совокупности значений СВ.

Для ДСВ , для НСВ

 Дисперсия  характеризует степень разброса значений СВ от своего среднего значения . Пусть .

Для ДСВ: , для НСВ: .

Среднее квадратическое отклонение .  – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.

4. Нормальное распределение

Оно самое распространенное распределение в природе, экономике и т.д. Обозначается , где  и  – параметры нормального распределения, .

Функция плотности вероятностей .  определена на всей числовой оси, ; . Функция  достигает при  максимума, равного  и имеет точки перегиба в точках  и . При изменении значения  график  целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения  график изменяется так: при увеличении значения  в k раз максимальное значение  уменьшается в k раз и график выполаживается.

Математическое ожидание , дисперсия .

Функция распределения .

Нормированное нормальное распределение .  – функция Гаусса,

 – функция Лапласа. . Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для . При этом , .

Вероятность того, что  примет значения в интервале .