Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

· matrix(m, n, f)— создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i -й строке, j -м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y);

· diag(v)— создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

· identity(n) —создает единичную матрицу порядкаn;

· augment(A, B) —формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрицаA,а в последних — матрица B(матрицы AиB имеютодинаковое число строк);

· stack(A, B) —формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрицаA,а в последних — матрица B(матрицы AиB имеютодинаковое число столбцов);

· submatrix(A, ir, jr, ic, jc)— формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с irпо jr и в столбцах сicпо jc,ir <= jr,ic <= jc.

Задания:

1. Создать и заполнить матрицу К размерности 3x 4 , элемент которой, расположенный в i -й строке, j -м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y)=х+у.

2. Сформировать матрицу Н размера 7х7 по заданному алгоритму (i – номер строки, j - номер столбца):

3. Умножить матрицу Н на произвольный скаляр, сложить полученную матрицу c единичной, сменить знак у всех элементов матрицы, транспонировать матрицу Н, найти ее след. (см. Функции отыскания числовых характеристик)

4. Найти произведение четырех элементов матрицы, полученной при выполнении задания 4:

5. Создать диагональную матрица, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе С.

6. Создать единичную матрицу Е порядка 3.

7. Создать матрицу М, в первых столбцах которой содержится матрицаA,а в последних — матрица К.

8. Создать матрицу N, в первых строках которой содержится матрицаA,а в последних — матрица B.

9. Создать матрицу L, которая является блоком матрицы M, расположенным в строках с 1 по 2 и в столбцах с 3 по 5.

Функции отыскания различных числовых характеристик матриц:

· last(v) —вычисление номера последнего элемента вектора v;

· lenght(v)— вычисление количества элементов vвектора;

· rows(A)— вычисление числа строк в матрице A;

· cols(A)— вычисление числа столбцов в матрице A;

· max(A) —вычисление наибольшего элемента в матрицы A;

· tr(A)— вычисление следа квадратной матрицы A(след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);

· rank(A)— вычисление ранга матрицы A;

· norm1(A), norm2(A), norme(A), normi(A) —вычисление норм квадратной матрицыA.

Задание. Самостоятельно сформировать примеры использования функций отыскания различных числовых характеристик матриц для ранее заданных матриц и векторов. Например, вычислить номер последнего элемента вектора С. При оформлении задания сформировать текст «Номер последнего элемента вектора С равен:». Дальше выполнить задание.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

· rref(A) —приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы);

· eigenvals(A) — вычисление собственных значений (значения при которых определитель матрицы обращается в нуль) квадратной матрицы А;

· eigenvecs(A) — вычисление собственных векторов квадратной матрицы А;значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А; порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

· eigenvec(A, l) — вычисление собственного вектора матрицы А,отвечающего собственному значению l;

· lsolve(A, b) — решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.

Задание. Сформировать самостоятельно задания для функций eigenvals, eigenvecs, eigenvec.

Итоговые задания:

1. Задайте вектор V1, состоящий из трех элементов {2,3,1}, и вектор V2 - {4,1,7}.

2. Выполните следующие операции: V1·3, V1 - V2, V1·V2, , просуммируйте элементы V1, транспонируйте вектор V2, вычислите норму вектора V1; используя операцию векторизации, вычислите Sin(V1) и посчитайте норму получившегося вектора.

3. Задайте матрицу М с размерностью 2x3, транспонируйте ее.

4. Создайте единичную матрицу Е размерности 5x5, вычислите ее след.

5. Создайте две квадратные матрицы М1 и М2 размерности 3x3, перемножьте их; у полученной матрицы вычислите определитель, выведите на экран второй столбец, и поэлементно третью строку.

6. Сложите матрицы М1 и М2 (матрица ММ).

7. Объедините матрицу ММ и вектор V1, отсортируйте полученную матрицу по первым столбцу и строке.

8. Вычислите собственные значения любой из введенных матриц размерности 3x3, а также собственный вектор, принадлежащий второму собственному значению.

9. Даны две матрицы

.                     

А) Создать вектор V1 из второго столбца матрицы А и вектор V2 из третьего столбца матрицы В.

Б) Вычислить .

В) Вычислить .

Г) Вычислить определители А, В и матрицы

Лабораторная работа № 23

  Создание программных фрагментов в MathCad