Взаимосвязь массы и энергии.

Энергия  тела (без учета потенциальной энергии во внешнем силовом поле) связана с его массой

,                                         (77)

- скорость света в вакууме.

Энергия покоя тела

,                                          

 - масса покоящегося тела.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

.

8. Связь между энергией  и импульсом частицы.

.                                (78)

Образец теста по разделу «Механика»

1. Материальная точка движется по окружности радиусом  = 5 м так, что пройденный ею путь меняется со временем как  м. Определить величину ускорения  точки в момент  = 2 с. В произвольной точке траектории показать направления тангенциального, нормального и полного ускорения материальной точки.

(Ответ: ≈ 20 м/с² )

2. Диск вращается равнозамедленно в направлении, показанном на рисунке. Определить номер линии, по которой направлен вектор углового ускорения .

                        (Ответ: 1)

3. В каком случае скорость  тела можно вычислить по формуле  ? Указать номер правильного ответа.

 1: =6 м  2: =6 м  3: =(6 + ) м 4: =(6 +1) м   

                                                                                                              (Ответ: 1)

4. Тело массой = 2 кг падает вертикально вниз с ускорением =9 м/с² . Определить среднюю силу сопротивления воздуха.

(Ответ: 2 Н)

5. Четыре шарика массами , 2 , 3 , 4  закреплены на невесомом стержне на одинаковом расстоянии = 0,1 м друг от друга. На каком расстоянии от крайнего левого шарика находится центр масс системы? 

(Ответ: 20 см)

6. Четыре шарика одинаковой массы  = 50 г закреплены невесомыми стержнями в вершинах квадрата со стороной  = 10 см. Определить момент инерции  системы относительно оси . Шарики рассматривать как материальные точки.

(Ответ: 0,001 кг· м²)

7. Чтобы закатить барабан радиуса  = 1 м на ступеньку высотой = 50 см, к нему прикладывают горизонтальную силу  = 2 Н. Определить величину момента  этой силы относительно точки О.

(Ответ: 3 Н· м)

8. С какой угловой скоростью  должен вращаться диск радиуса  = 0,8  м и массой  = 0,5 кг, чтобы его кинетическая энергия  составляла 2 Дж?

(Ответ: 5 рад/c)

9. Стержень длиной  = 1 м ставят вертикально на конец  и отпускают. Стержень падает без проскальзывания, вращаясь вокруг точки . Определить угловое ускорение  стержня в момент, когда он составляет угол  = 60° с плоскостью.  0,9; =0,5. 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Тема «Кинематика»

Пример 1.Частица движется по окружности радиусом = 50 см так, что зависимость ее пути   от времени   имеет вид  м. Определить скорость  и ускорение  частицы в момент  =2 с. Найти угол  между скоростью и ускорением частицы в заданный  момент времени.

Дано: =0,5 м,  м ,  =2 с.  Найти:  ,  , .

Решение. Скорость представляет собой производную от пути по времени

м/c .

В момент  =2 с,

 м/c  .

Тангенциальное ускорение

м/c²,      м/c² .

Нормальное ускорение

 м/c².

Полное ускорение  м/c² .

Скорость  и  направлены по касательной к окружности,  - к ее центру (рис.10).

Рисунок 10 –Направления скорости и ускорения.

;   .

Ответ:  м/c ,  м/c² ,  .

Пример 2. Цилиндр радиусом  катится без скольжения со скоростью   (рис.11). Определить скорости точек А и В, а также радиусы кривизны их траекторий.

Дано: ,  . Найти:  ,  , , .

Рис. 11.

Решение.

1). Качение цилиндра можно представить как сумму двух движений: поступательного с постоянной скоростью  (рис.12, ) и вращательного вокруг центра масс   (рис.12, ). 

                      Рис.12, .                                  Рис.12, .

Т.к. скорость точки К касания цилиндра с землей равна нулю, то значит, при вращении точки обода цилиндра движутся также со скоростью . В результате сложения скоростей при поступательном и вращательном движениях находим скорости точек  и  

;  .

Направления векторов   и  показаны на рисунке 13.

              Рис.13.

2). Ускорение точек  и  обусловлено вращением цилиндра,

.

Векторы   и   направлены к центру  цилиндра. Нормальное ускорение точки   перпендикулярно скорости   (рис.13),

              .                          

Нормальное ускорение точки  равно ее полному ускорению

 .

Т.к. радиус кривизны траектории   , то

,

.

Ответ: ,  .  , .

Тема «Законы Ньютона»

Пример 3. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом. Пройденный телом путь   меняется со временем  по уравнению м. Определить коэффициент трения  тела о плоскость.

Дано:  м, . Найти: ..

Решение. Скорость тела равна

 м/c.

Ускорение тела

 м/c².

Рис.14.

При движении на тело действуют сила тяжести , сила трения , сила реакции опоры   (рис.14).

Запишем 2-ой закон Ньютона    в проекциях на оси  x и y :

(x)     ,                     (1)

(y)           .                       (2)

Из (1):     ,

из (2):     .

Т.к. , то коэффициент трения

.

Ответ: .

Пример 4. Сфера радиусом =1 м равномерно вращается вокруг вертикального диаметра с частотой 36 мин^-1. Внутри сферы находится шарик массой =50 г. Найти, на какой высоте, отсчитываемой от нижней точки сферы, шарик займет положение равновесия относительно сферы. Определить силу давления шарика на сферу в этом положении.

Дано: =1 м, =36 мин^-1=0,6 с^-1, =0,05 кг. Найти: , .

Решение: На шарик действуют сила тяжести   и реакция опоры  (рис.15).

                                          Рис.15.

Т.к. вращение равномерное, то тангенциальное ускорение шарика

.

Полное ускорение шарика равно нормальному,

,

и направлено к центру его траектории. Т.к. радиус траектории , то

.                               (1)

Запишем 2-ой закон Ньютона для шарика в проекции на оси x и y

(x)           ,             (2) 

(y)           .              (3)          

Отсюда   и . Поделим два последних уравнения одно на другое,

.

Подставим из (1) выражение для ускорения

.

Отсюда   .

Т.к. , то

.

 м =  см.

Из (3) найдем, что     Н.

Сила давления шарика на сферу численно равна силе реакции опоры,  Н.

Ответ:  м ;  Н.

Тема «Импульс тела. Центр масс»

Пример 5. Шарик массой 50 г, движущийся со скоростью =2 м/с под углом  к стенке, абсолютно упруго соударяется с ней. Продолжительность удара =0,01 с. Определить среднюю силу, действующую на стенку во время удара.

Дано: =0,05 кг, =2 м/c, , =0,01 c. Найти: .

Решение. Изменение количества движения (импульса) шарика равно сумме импульсов действующих на него сил:

.        (1)

Рис.16.

На шарик действуют сила тяжести  и, во время удара, сила реакции стенки  (рис.16).

Спроецируем уравнение (1) на ось x:

.

Отсюда

 Н.

Т.к. сила, действующая на стенку, численно равна силе реакции опоры, то

10 Н.

Ответ: 10 Н.

Пример 6. Четыре точечные массы , ,  и  находятся в вершинах квадрата со стороной  (рис.17). Определить положение центра масс данной системы.

Дано: , , , , . Найти: -? -?

Рис.17.

Решение. Расположим начало координатных осей x и y в точке . Тогда координаты центра масс  равны

,

.

Величина радиус-вектора центра масс

.

Ответ: , .

Тема «Динамика вращательного движения»

Пример 7. На барабан массой =3 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой  =2 кг (рис.18). Найти ускорение   груза и силу натяжения   шнура, считая барабан однородным диском. Трением пренебречь.

Дано: =3 кг,  =2 кг,

барабан – диск. Найти: , .

Решение. На груз действуют

сила тяжести    и сила   

натяжения шнура   (рис.19) .

Т.к. груз совершает

поступательное движение,

запишем для него 2-ой закон Ньютона                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Рис.18

в  проекции  на ось  y, направленную

вертикально вниз,                                                                         Рис.18.

                                             .                (1)

На барабан действуют сила натяжения , сила тяжести   и реакция опоры    (рис.20).

                       Рис.19.                                                Рис.20.

Т.к. барабан вращается, воспользуемся основным законом динамики вращательного движения  и запишем его относительно оси вращения, проходящей через точку :

           ,                     (2)

 - радиус барабана. Моменты сил  и  относительно точки  равны нулю.

Т. к. барабан – однородный диск, его момент инерции

 .

Угловое ускорение барабана . Подставив  и  в уравнение (2), получаем

.                           (3)

Отсюда                                         .               (4)

Подставим   в (1):

.

Тогда    .

Отсюда ускорение

м/с².

Сила натяжения шнура из уравнения (4):

Н.

Ответ:   м/c² ,   Н.

Пример 8. Лестница массой =16 кг приставлена к вертикальной стене под углом 20^° к ее поверхности. На лестнице на расстоянии  ее длины , от нижнего конца, стоит человек массой =75 кг. Каким должен быть коэффициент трения между основанием лестницы и поверхностью пола, чтобы лестница не соскользнула? Трением между лестницей и стенкой пренебречь.

Дано: =16 кг, =75 кг, =20°,    . Найти: .

    Рис.21.

Решение. Обозначим - длина лестницы. На лестницу с человеком действуют сила тяжести лестницы , человека , сила трения  и реакции опор  и  (рис.21).

Т.к. система находится в равновесии, то сумма действующих на нее сил и моментов сил должна быть равна нулю.

Запишем условие равенства нулю суммы сил в проекции на ось y:

.

Отсюда  .

Запишем условие равенства нулю моментов сил, относительно точки :

.

Сокращая на  и учитывая, что , получаем

.

Отсюда = =

=

Ответ: .

Тема «Работа. Механическая энергия»

Пример 9. Тонкий стержень длиной =0,8 м может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей его верхний конец. Стержень отклонили на угол  =60 ^° и отпустили (рис.22). Определить угловую скорость  стержня, линейную скорость его нижнего конца и скорость центра масс  в момент прохождения стержнем положения равновесия.

              Рис.22.

Дано: =0,8 м,  =60 ^°. Найти: , , .

Решение.

Изменение кинетической энергии стержня равно работе сил, приложенных к нему:

                                                     (1)

(теорема о кинетической энергии).

В начальный момент стержень неподвижен, =0.

В момент прохождения положения равновесия ,

 - момент инерции однородного стержня относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса . Тогда

                           .                          (2)

На стержень действуют сила тяжести  и реакция опоры . Сила  не совершает работы, т.к. точка ее приложения неподвижна. Работа силы тяжести

 .

Т.к. , то

                   .                     (3)

Подставляя в (1) уравнения (2) и (3), получаем

.

Отсюда  .

Скорость точки ,   м/с.

Скорость точки ,   м/с.

Ответ:   м/с,   м/с.

Пример 10. Шар, движущийся со скоростью =4 м/с, закатывается на наклонную плоскость, составляющую угол = 30^° с горизонтом (рис.23). Какое расстояние  пройдет шар по наклонной плоскости за счет его кинетической энергии? Трением пренебречь.

Дано: =4 м/с, = 30^° . Найти: .

Решение. Применим теорему о кинетической энергии:

            .                                  (1)

В конце движения шар останавливается, поэтому .

Начальная кинетическая энергия шара

                  ,                                  (2)

т.к. движение шара складывается из поступательного и вращательного. В формуле (2) - скорость центра масс  шара (рис.23).

Момент инерции шара , его угловая скорость  .

Рис.23.

Тогда                                                 (3)

Сила реакции опоры  работы не совершает. Работа силы тяжести

            .                             (4)

Подставляя выражения для  и  в (1), получаем

.

Отсюда   м.

Ответ:   м.

Тема «Уравнения гидродинамики»

Пример 11. Вода из трубы диаметром =5 см, расположенная на глубине 1 м, поступает в здание под давлением 3 атм со скоростью 0,5 м/с. На верхнем этаже на высоте 10 м труба сужается до диаметра   =2,5 см. Вычислить скорость течения и давление в трубе на верхнем этаже (вязкостью воды пренебречь).

1 атм=101,3∙10³ Па.

Дано: =5 см=5∙10^{-2 м, =2,5 см=2,5∙10-2 м, =3 атм=303,9∙103} Па, =1 м,  м/с, =10 м. Найти: , .

Решение. Из уравнения неразрывности вычислим скорость движения воды в узком сечении трубы

.

Т.к. площади сечений   и   , то

 м/с .

Уравнение Бернулли

= .

Отсюда

.

Подставим числовые данные, учитывая, что плотность воды  кг/м³ ,

Па.

Ответ:  м/с , =204∙10³ Па.

Пример 12. Для измерения скорости протекания газа используют трубку Вентури (трубку с сужением, в которую врезан жидкостный манометр, рис.24).

Определить скорость движения газа  в широкой части трубки, если известны плотность  газа и плотность   жидкости, площади   и сечений трубки, разность уровней   жидкости в манометре.

Дано: , , , , . Найти: .

Решение. Т.к. трубка тока газа расположена горизонтально, то уравнение Бернулли для нее имеет вид

= ,                  (1)

 и - статическое давление газа в широком сечении 1 и в узком сечении 2.

                       Рис.24.

Из (1):

       .                        (2)

Разность статических давлений    и  уравновешивается гидростатическим давлением столбика жидкости высотой

                   .               (3)

Из (2):

            .                 (4)

Скорости  и   связаны уравнением неразрывности

.

Отсюда . Подставим   в (4):

.

Получаем   .

Ответ:   .

Библиографический список

Основная литература:

1. Трофимова Т.И. Физика.: учебник учебник для ОУ ВПО. - М: Академия, 2012- 316 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие.- М: Академия, 2007- 560 с

3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями.8-е изд.- М.: «Высшая школа», 2007.- 591 с.

Дополнительная  литература:

1. Савельев И.В. Курс физики. В 3-х томах. 4-е изд., стереотип. - СПб.: Лань, 2008.

2. Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. - М: Оникс, 2009.- 1056с.

3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. В 3-х томах. 7-е изд., стереотип. - СПб.: Лань, 2007.

4. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. М.:Наука. 1988.-256 с.