Последовательность расчётов при корреляционном анализе

Рассчитываются следующие показатели:

r – коэффициент корреляции

d_у/х – коэффициент детерминации

S_d –ошибка коэффициента корреляции

t_{r факт.}– критерий существенности (значимости) корреляции

r – коэффициент корреляции служит для измерения силы (тесноты, степени) и направления линейной связи. Изменяется от -1 до +1.

считается, что при:

r = 0 линейная (прямолинейная) связь между изучаемыми признаками отсутствует (может быть, криволинейная связь).

r = 0 – 0,3 – связь слабая

r = 0,3 = 0,7 – связь средняя

r = 0,7 = 1,0 – связь сильная (тесная)

Для положительных (или прямых) связей, коэффициент корреляции (r), со знаком (+) будет означать, что с увеличением суммы осадков, увеличивается урожай.

Для отрицательных (обратных) связей знак (-) означает, что при увеличении суммы осадков, снижается урожай.

При полных связях , когда корреляционная связь превращается в функциональную, r – для прямых (положительных) связей равен (+1), а для обратных (отрицательных) связей равен (– 1)

Чем ближе r к (+1) или к (-1), те сильнее (теснее) линейная (прямолинейная) корреляционная связь.

. Коэффициент корреляции для выборочных наблюдений вычисляют по формул

Не вычисляя отклонения и квадраты отклонений, корреляцию можно рассчитать по формуле

,

где  – число сопоставляемых пар (объём выборки).

2. Степень связи между признаками более точно измеряется коэффициентом детерминации , равным квадрату коэффициента корреляции ( ) и показывающим долю тех изменений (%), которые зависят от изучаемого фактора. При =0,8 не 80 %, а только 64 % изменчивости признака У обусловлена действием факториального признака Х ( ), остальная часть корреляционной связи ( ) обусловлена другими факторами.

3. Коэффициент корреляции выборочных наблюдений подвержен случайным колебаниям, которые зависят как от особенностей образования выборки, так и от точности наблюдений. Поэтому для оценки надёжности  определяют его ошибку  и критерий существенности :

;        

где   – ошибка коэффициента корреляции;

        – число сопоставляемых пар (объём выборки).

С увеличением объёма выборки  уменьшается, а точность определения  возрастает.

Критерий существенности коэффициента корреляции определяют по формуле

Если _, то корреляционная связь существенна, а при  <  – несущественна.  находят по табл. приложения 2 для 5%-ного, а при более строгом подходе – 1% - ного уровня значимости. Число степеней свободы принимают равным v .

При достаточно большом числе наблюдений (не менее 100) коэффициент корреляции считается существенным, если он превышает свою ошибку в три и более раза, т.е. когда .

Регрессионный анализ

При корреляционном анализе с помощью коэффициента корреляции можно выяснить тесноту (силу) и направление связи, но нельзя узнать, как количественно меняется результативный признак при изменении факториального на единицу измерения. Эта задача решается с помощью регрессионного анализа.

Регрессия – это изменение результативного признака (зависимой переменной, или функции Y) при определённых изменениях факторного признака (независимой переменной или аргумента Х). Например, с изменением длины листа на 1 см его площадь изменяется на 4,6 см². Различают регрессию простую и множественную, по форме – линейную и криволинейную. Сущность регрессионного анализа состоит в том, чтобы построить линию (прямую в случае прямолинейной зависимости), которая наиболее точно выражала бы зависимость одного признака от другого.

Зависимость функции от аргумента при линейной регрессии выражается коэффициентом регрессии (в), который показывает, как в среднем изменяется (увеличивается или уменьшается, смотря по знаку в) результативный признак (функция) при изменении факториального признака (аргумента) на одну единицу измерения.

Коэффициенты линейной регрессии вычисляются по формулам:

и .

Коэффициенты регрессии имеют знак коэффициента корреляции. Произведение коэффициентов регрессии равно квадрату коэффициентов корреляции (что используется для проверки расчётов коэффициентов регрессии):

 ;         

Чаще всего из двух коэффициентов регрессии вычисляют только один. При исследовании односторонней зависимости, например корреляции между урожаем Y и количеством выпавших осадков Х (как в нашем примере), вычисляют только один коэффициент регрессии результативного признака , который показывает, как изменяется Y при изменении Х на единицу измерения; выражается он в единицах Y.

Так с увеличением количества осадков во II и III декадах июня на 1 мм урожайность яровой пшеницы повысится на 0,34 ц/га. Вычисление  лишено смысла, мы его рассчитали для проверки вычислений коэффициентов регрессии. Затем находят ошибку коэффициента регрессии:

_.

Критерий существенности коэффициента регрессии равен:

  и   мы не вычисляем, так как в данном примере , что свидетельствует о существенности регрессии.

Сопоставляя значения  и  можно при заданном уровне значимости (05 или 01) и числе степеней свободы v  оценить существенность коэффициента регрессии результативного признака – . Если известен критерий существенности коэффициента корреляции  и значимость его доказана, то существенным будет и коэффициент регрессии, так как .

После корреляционных и регрессионных анализов составляют уравнени регрессии, которые используют:

ü для вычисления неизвестного показателя по известному, например площади листьев по их длине;

ü для прогнозирования будущего урожая по числу цветков или завязей;

ü для прогнозирования качества урожая по элементам погоды;

ü для прогнозирования распространения вредителей и болезней по внешним условиям;

ü для прогнозирования качества продуктов переработки и их хранения по качеству сырья и т. д.

Связь между функцией и аргументом выражается уравнением регрессии или корреляционным уравнениям. При простой регрессии уравнением кратко обозначается Y=f (x) и при множественной Y=f (X,Z,V…). Если степень связи между признаками велика, то по уравнению регрессии можно предсказать значение результативного признака для определенных значений факториальных признаков. Для оценки тесноты связи используют коэффициенты корреляции и корреляционное отношение.

Совместное применение методов корреляции, регрессии и дисперсионного анализа для уточнения эксперимента получило название ковариационного анализа.

Для наглядности корреляцию можно изобразить в виде линии регрессии.

Теоретическую линию регрессии можно построить двумя способами:

- графическим (с помощью прозрачной линейки), позволяющим приближённо выявить лишь общую тенденцию зависимости;

- аналитическим, используя уравнение линейной регрессии Y по Х:

где  и  – средние арифметические признаков Х и Y;

  –коэффициент регрессии результативного признака.

Подставляя в это уравнение вычисленные значения ,  и _, определяют формулу уравнения прямой линии ;

Суть ковариационного анализа сводится к следующему. Если между результативным признаком Y и сопутствующим эксперименту не изучаемым признаком Х имеет место значимая линейная связь, то методом ковариации можно статистически выровнять условия проведения опыта в отношении признака Х и тем заметно снизить ошибку эксперимента и получить больше информации об изучаемом явлении.

Ковариационный анализ

Ковариационный анализ– одновременный анализ сумм квадратов и сумм произведений отклонение двух или более переменных от их средних. Он используется при планировании и статистической обработке результатов опыта как способ уменьшения ошибки эксперимента, не поддающейся непосредственному контролю (выравниванию). Ковариационный анализ позволяет установить соотношение между вариацией зависимой переменой, например урожаев Y, и вариацией, сопутствующей эксперименту переменой Х, например исходным состоянием многолетних деревьев, густотой стояния растений, содержанием в почве питательных веществ и т.д. На основе соотношения проводится статистическое выравнивание условий эксперимента. Статистический контроль над сопутствующей опыту дает возможность получить такой конечный результат, который был бы получен при сохранении величины Х на постоянном уровне.

Это заметно уточняет результаты опыта, снижает его ошибку.

В узком смысле под ковариацией, обозначаемой cov или s_xy в математической статистике понимается среднее произведение отклонений двух переменных от их средних.

Ковариация может быть как положительной, так и отрицательной.

В более широком смысле ковариацией называют совокупность трех статистических показателей: средних арифметических х и у, сумм квадратов варьирования и состовляет суть ковариационного анализа.

Ковариационный анализ включает три основных этапа:

С дисперсионный анализ ряда X,Y и произведений XY;

В разложение остаточной дисперсии С_z по ряду Y (остаток I) на сумму квадратов отклонений, обусловленную регрессией Y по X, обозначаемую С_b , и сумму квадратов отклонений от регрессии C_{d y×x} (остаток II);

С_z (остаток I) = C_b + C_{d y×x} (остаток II);

В приведение фактических средних по ряду Y к полной выравненности условий эксперимента по ряду сопутствующей переменной Х.

Таким образом, ковариационный анализ – это распространение методов дисперсионного анализа на случай нескольких переменных, а так же корреляционного и регрессионного анализов на общие схемы полевых, вегетационных и лабораторных экспериментов.

Когда между переменной Y, подлежащей изучению, и сопутствующей переменной Х можно предполагать линейную связь, то целесообразно запланировать измерение величины Х. Это дает возможность получить дополнительную информацию об изучаемом явлении и использовать регрессию в целях уточнения эксперимента.

Выравнивают обычно только итоговые данные, т.е. средние, поэтому в уравнении регрессии Y и X будут соответствовать средним по вариантам опыта.

В агрономических исследованиях ковариационный анализ целесообразно использовать для уточнения опыта в двух основных случаях:

1) если на результативный признак может оказать заметное влияние разное исходное состояние условий эксперимента - плодородие почвы, мощность многолетних растений и т.п., которые могут быть измерены в начале опыта;

2) если на изучаемы признак в процессе эксперимента оказывают влияние не зависящие от вариантов опыта причины-выпадения растений и повреждения их болезнями, вредителями, птицами и т.д.

Правильное применение ковариационного анализа предполагает независимое от вариантов опыта распределение случайной величины Х. Если сопутствующая Х имеет отношение к изучаемым вариантам, то исключение части эффекта неправомерно, так как это ведет к исключению части эффекта варианта.

Основные этапы планирования исследования (эксперимента)

Планирование – это определение задачи и объектов (растений) исследования, разработка схемы эксперимента, выбор земельного участка и оптимальной структуры опыта.

Ошибки, допущенные при планировании, нельзя исправить в последующем ни тщательным проведением опытной работы, ни применением дорогостоящих инструментальных методов исследования и статистической обработки на современных ЭВМ.

Период планирования включает:

1) выбор темы, определение задачи и объекта исследования;

2) определение актуальности исследований;

3) формулировку целей и задач исследований;

4) выбор объекта или объектов исследований; •

5) сбор и критический анализ имеющейся информации относительно исследуемой проблемы (изучение современного состояния вопроса);

3)    выдвижение рабочей гипотезы или ряда конкурирующих гипотез (теоретических моделей);

4)    разработку схемы и методики эксперимента.

К теме предъявляют ряд требований:

1)    Актуальность, критерия для установления степени актуальности пока нет, более актуальной считают ту тему, работа над которой дает больший экономический эффект;

2)    Новизна темы – означает, что тема в данной постановке никогда не разрабатывалась и в настоящее время не разрабатывается;

3)    Тема должна быть экономически эффективной и значимой – исследования должны давать экономический эффект, который определяется уже на стадии выбора темы;

4)    Важная характеристика темы – реальность внедрения результатов исследований.

Необходимо четко сформулировать цель исследования, построить логическую модель изучаемого явления и правильно выбрать стратегию, которая определяет методы и приемы исследования.

Следующий этап планирования – изучение литературы по избранной проблеме и выдвижение рабочей гипотезы или ряда конкурирующих гипотез. Рабочая гипотеза служит отправным пунктом для составления схемы или ряда схем будущих опытов и разработки программы исследования. В программе указывают схемы опытов, основные элементы методики и техники эксперимента, наблюдения и учеты.

Сложным и ответственным этапом планирования является разработка схемы и методики опыта, выбор полевых и лабораторных наблюдений (анализов) и учетов для оценки и объяснения действия изучаемых факторов. Надежность результатов эксперимента и соответствие их поставленной задаче зависят от правильного решения основного вопроса планирования.

Главная задача любого эксперимента – это практическое решение какой-либо общей проблемы, неразрешенной на сегодняшний день (обеспечение населения продовольствием, экологическая безопасность и др.) или частной проблемы. В земледелии частными проблемами являются: увеличение продукции растениеводства, защита растений от сорняков, вредителей и болезней, повышение плодородия почвы и др.

Тема исследования – это отдельный вопрос проблемы, решающий практические вопросы сельскохозяйственного производства, в конкретных почвенно-климатических условиях, для последующего широкого внедрения научных исследований в производство.

При подготовке и проведении исследования можно выделить 3 этапа.