Локальная форма закона сохранения импульса

    Аналогично законам сохранения массы и энергии можно получить локальную(для точки)форму закона сохранения импульса:

    Отличие будет заключаться лишь в векторной природе переносимой субстанции – импульса единичного объема :

,                               (2.57.)

где  - ускорение. Если массовая сила есть сила тяжести, то = .

    Расчленив тензор потока импульса на конвективную часть и тензор вязких напряжений _в по (2.27.), можно представить общий вид уравнения движения:

.                               (2.58.)

Здесь

    Допустив  (молекулярная вязкость) для ламинарного движения получим уравнение Навье - Стокса:

.                                (2.59.)

Разделив уравнение (2.59.) на  получим привычный вид уравнении Навье – Стокса:

.                 (2.60.)

    Развернутое уравнение для оси x в декартовой системе координат имеет следующий вид:

                  (2.61.)

    Остальные уравнения по осям y и z имеют аналогичный вид: индексы меняются по кругу

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье – Стокса.

Если среда идеальная, то  = 0 и получим:

,                  (2.62.)

– уравнение движения идеальной жидкости - уравнение Эйлера

Если среда находится в равновесии, то  и получим:

, ,                   (2.63.)

– уравнение равновесия Эйлера

Исчерпывающее описание процессов переноса

    Дифференциальные уравнения второго порядка с частными производными, полученные на основе уравнений переноса и законов сохранения массы, энергии и импульса, а также условия однозначности к ним (начальные и граничные условия) составляют исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Проблема заключается лишь в математической сложности решения этих задач.

Условия однозначности

    Общее решение дифференциального уравнения описывает целый класс процессов. Для получения частного решения необходимо задание условий однозначности. Они включают:

1) геометрическую форму и размеры системы;

2) физические свойства участвующих в процессе сред;

3) начальные и граничные условия.

    Рассмотрим математическую формулировку этих условий.

    1. Форма и размер аппарата задаются уравнениями одной или нескольких поверхностей:

.

    2. Физические свойства – плотность и коэффициенты переноса  - для ламинарного режима.

    Для турбулентного режима течения среды более сложно:

;

;

.

    Единственным упрощением для этого случая является близость значений этих коэффициентов в одинаковых условиях: .

    3. Начальные условия в пределах . В начальный момент времени задаются:

    Граничные условия предполагают задания значений T и c_i, либо значений потоков , ,  на границах системы, т.е. на поверхности:

,

 либо

Поля скорости, давления, температуры и концентраций

Пограничные слои

    Для нахождения поля  и  необходимо решать систему уравнений, представляющую исчерпывающее математическое описание процессов переноса. К сожалению, в общем случае аналитическое решение этих уравнений не представляется возможным. Аналитическое решение возможно только для простейших случаев. Например: неизотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости по круглой трубе; поля  и  в неподвижной среде.

    Если протекает одновременно процессы переноса массы, импульса и энергии, то меняются физические свойства среды. Это означает, что эти уравнения необходимо решать совместно (так называемые сопряженные задачи). Эти уравнения могут быть решены численно, применяя компьютерные технологии.

    Обычно идут по пути упрощения исчерпывающего описания. Как правило, в системе имеется граница раздела фаз, вблизи которой происходит наибольшее изменение искомых величин (пограничный слой). Пограничным слоем считают области, примыкающие к границе раздела фаз, в которой происходит 99% изменения соответствующего параметра. Вне пограничного слоя – ядро потока. Упрощение заключается в пренебрежение изменения полей в ядре потока.

    Имеются различные виды пограничных слоев:

    -гидродинамический;

    -тепловой;

    -диффузионный.

    Поскольку, как правило, толщина пограничного слоя  значительно меньше линейных размеров аппарата, описание аппарата может быть упрощено с трехмерного до двух или одномерного, что значительно упрощает задачи.