Интегральная форма закона сохранения энергии

(первый закон термодинамики)

    Изменение энергии в системе вызывается разностью ее прихода и расхода. Учитывая, что энергия может передаваться в форме теплоты и работы можно записать:

 или . (2.44.)

В  - штрих означает, что E отнесена к единице массы.

 =  - работа совершаемая над системой, поэтому перед  в уравнение (2.44.) знак «-». Энергия системы складывается из внутренней U, кинетической E_к и потенциальной E_п. Если потенциальная энергия обусловлена полем силы тяжести, то :

.                         (2.45.)

    Работа может совершаться движущейся средой по преодолению внешнего давления и трения:

,                          (2.46.)

тогда с учетом (2.45.) и (2.46.) второе уравнение (2.44.) можно переписать:

.       (2.47.)

    Рассмотрим частный случай закона сохранения энергии. Для идеальной изотермической жидкости (трение отсутствует, теплообмена с окружающей средой тоже нет) можно записать:

 = 0,  = 0, = 0,

тогда получим:

.                    (2.48.)

    После интегрирования (2.48.) имеем:

+ +gh = const.                  (2.49.)

    Это и есть уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения механической энергии единичной массы среды.

Локальная форма закона сохранения энергии

    Локальное уравнение сохранения энергии можно получить для единичного объема следующим образом:

=

    Переносимая субстанция – энергия единичного объема . Тогда:

.                   (2.50.)

    На практике при рассмотрении процесса переноса тепла в изобарных условиях можно пренебречь работой по преодолению сил трения и изменением механической энергии. Тогда можно записать:

.                 (2.51.)

В этих условиях . Раскрывая выражение  получим:

.         (2.52.)

В частном случае ламинарного движения и постоянства теплофизических характеристик ( ), это уравнение упрощается:

,                               (2.53.)

где  - коэффициент молекулярной температуропроводности. Распишем уравнение (2.53.):

 -

уравнение Фурье-Кирхгофа.

    При теплопереносе в неподвижной среде (w = 0) получим уравнение нестационарной теплопроводности Фурье:

.                               (2.54.)

    Для случая стационарного переноса тепла получено:

 = 0.                                    (2.55.)

    Решение дифференциальных уравнений, полученных на основе закона сохранения совместно с условиями однозначности, позволяет получить поля температуры и потока тепла в аппарате.

Закон сохранения импульса

    Суммарный импульс изолированной системы есть величина постоянная:

 = const, , .

Если же система находится под воздействием внешних сил, то производная от импульса системы по времени равна результирующей силе, действующей на систему.

Интегральная форма закона сохранения импульса

    Изменение импульса в фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода импульса, а также источником импульса. Как известно, импульс является величиной векторной:

,                        (2.56.)

где ,  - приход и отвод импульса из объема V за время t,  - количество импульса, образующегося в единице объема за единицу времени (источник импульса).