III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1226 (б; в).

Учащиеся решают самостоятельно.

Решение

б) Дано: V = 113,04 см³. Найти R и S.

V = πR³, отсюда, R³ = , значит, R = .

R = ≈ ≈ ≈ 3 (см).

R ≈ 3 см.

S = 4πR² ≈ 4π ∙  3² ≈ 36π (см²).

S ≈ 36π см².

Ответ: ≈ 3 см; ≈ 36π см².

в) Дано: S = 64π (см²). Найти R и V.

S = 4πR², отсюда R² = , то R = ;

R = = 4 (см);

R = 4 см.

(см³).

Ответ: 4 см; π см³.

2. Решить задачу № 1227 на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли, то есть d_Земли = 4d_Луны, тогда радиус земли в 4 раза больше радиуса луны, то есть R₁ = 4R₂. Найдем объем луны

.

Найдем объем земли

.

Значит, объем земли в 64 раза больше объема луны.

Ответ: в 64 раза.

3. Решить задачу № 1229.

Учащиеся решают самостоятельно. затем проверяется решение задачи.

Решение

По условию R = 10 см. По формуле S = 4πR² найдем площадь сферы (покрышки футбольного мяча).

S = 4π ∙ 10² = 400π (см²) ≈ 400 ∙ 3,14 ≈ 1256 (см²).

8 % = 0,08 от 1256 равно 1256 ∙ 0,08 = 100,48 (см²).

На покрышку футбольного мяча необходимо кожи:

1256 + 100,48 = 1356,48 ≈ 1357.

Ответ: ≈ 1357 см².

4. Задача № 1228 практического содержания.

Решение По условию ВD = h = 12 см; АС = 5 см, тогда ВС = r = 2,5 см. Найдем объем конуса (объем стаканчика для мороженого): Vконуса = πr2h = π ∙ 6,25 ∙ 12 = 25π (см3).

Положим две ложки мороженого в виде полушарий, тогда вместе они составляют шар диаметром 5 см, то есть радиусом 2,5 сантиметра. Найдем объем шара (объем мороженого):

V_шара = πR³ = π ∙ (2,5)³ = π ∙ 6,25 ∙ 2,5 = (4π ∙ 6,25) ∙ =

= 25π ∙ ≈ 25π ∙ 0,8 (см³).

Значение выражения 25π ∙ 0,8 меньше значения выражения 25π. Поэтому объем шара (объем мороженого) меньше объема конуса (объема стаканчика для мороженого). Значит, мороженое, если оно растает, не переполнит стаканчик.

Ответ: нет.

5. Решить задачу № 1231 на доске и в тетрадях.

Решение

Отношение объемов двух шаров равно кубу коэффициента подобия, так как любые шары – это подобные тела.

= k³.

По условию                           = 8 = 2³,

отсюда                                        k = 2.

Аналогично теореме «отношение площадей двух подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия» (см. пункт 58 на с. 139 учебника) имеем, что отношение площадей поверхностей двух подобных тел равно квадрату коэффициента подобия.

= k².

так как k = 2, то = 2² = 4, то есть S₁ : S₂ = 4 : 1.

Ответ: 4 : 1.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 127, ответить на вопросы 23–26, записать в тетради решение задач №№ 1224, 1225 (с. 333–335 учебника).

Об аксиомах и планиметрии (2 часа)

При завершении курса планиметрии в конце 9 класса два урока отводятся на ознакомление учащихся с аксиоматическим методом, в частности с системой аксиом, которые положены в основу изученного курса геометрии.

На первом уроке желательно провести с учащимися беседу об аксиоматическом методе в геометрии. В связи с этим необходимо напомнить им некоторые факты о возникновении и развитии геометрии. Для этой беседы рекомендуется использовать приложения 1 и 3 учебника: «Об аксиомах планиметрии» и «Некоторые сведения о развитии геометрии», а также дополнительную литературу.

В зависимости от уровня подготовки класса на втором уроке можно разобрать один или два примера теорем, которые в курсе были доказаны на основе наглядных представлений, и доказать их с использованием принятых в учебнике аксиом. Один из таких примеров (теорема, выражающая первый признак равенства треугольников) разобран в приложении 1 учебника.

Решение задач

при повторении курса геометрии необходимо сконцентрировать внимание учащихся на узловых вопросах программы.

Основные факты планиметрии и применяемые в ней методы можно сгруппировать по следующим темам:

1. «Треугольник» (2 часа).

2. «Окружность» (2 часа).

3. «Четырехугольники, многоугольники» (2 часа).

4. «Векторы, метод координат, движения» (2 часа).

Рассмотрение этих вопросов может включать обобщение и систематизацию сведений об основных свойствах геометрических фигур, доказательство отдельных теорем, решение комплексных задач.

При повторении полезно обращать внимание учащихся на различные методы геометрических доказательств. В зависимости от подготовки класса повторение можно проводить по всем или отдельным вопросам рассматриваемой темы.

Для организации итогового повторения можно воспользоваться подбором задач по указанным выше темам

Треугольник

Основные вопросы программы: равенство и подобие треугольников, сумма углов треугольника, равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, площадь треугольника.

Задачи

1. В треугольниках АВС  и DЕK АВ = DЕ, АС = DK, ВР = ЕМ, где Р и М – середины сторон АС и DK.

1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику DЕK.

2) Найдите S_АВС, если ЕМ = 3 см, DK = 4 см, ЕМK = 135°.

2. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, ВD = В₁D₁, где ВD и В₁D₁ – высоты треугольников, причем точки D и D₁ лежат на отрезках АС и А₁С₁.

1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁.

2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника В₁D₁С₁, если известно, что ВD = 6 см, DС = 8 см.

3) Найдите угол А₁С₁В₁, если ВD = 6 см, DС = 8 см.

3. На рисунке дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, DЕ  АВ.

1) Докажите, что треугольник АВС и треугольник DАЕ подобны. 2) Найдите катеты треугольника АВС, если АВ = 13 см, АЕ = 5,2 см, DЕ = 2 см. 3) Докажите, что около четырехугольника ВDЕС можно описать окружность.

4. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ, СD = а, АD = b.

найдите: 1) ВС; 2) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) отношение площадей треугольников АDС и АСВ.

5. В треугольнике АВС АВ = 14 см, АС = 15 см, ВС = 13 см.

найдите: 1) длину меньшей высоты треугольника; 2) площадь треугольника АDС, если АD – биссектриса треугольника АВС; 3) медиану АЕ треугольника АВС.

6. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС по сторонам АВ и АС и высоте, проведенной к АС.

7. Площадь треугольника АВС равна Q. Найдите площадь треугольника АОВ₁, где О – точка пересечения медиан треугольника АВС, а В₁ – середина стороны АС.

8. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник АВС по основанию АС и углу В и биссектрису ВD внешнего угла этого треугольника при вершине В.

Окружность

Основные вопросы программы: окружность и круг, касательная к окружности и ее свойства; окружность, описанная около треугольника; окружность, вписанная в треугольник.

Задачи

1. Хорда АВ окружности радиуса 4 см видна из центра под углом 90°.

Найдите: 1) хорду АВ и расстояние от центра окружности до этой хорды; 2) углы треугольника АВС, где С – точка, расположенная на большой дуге АВ окружности так, что АС : СВ = 5 : 4; 3) хорду ВС.

2. Две взаимно перпендикулярные хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке K, причем АK = 6 см, ВK = 32 см, KD = 24 см.

Найдите: 1) хорды ВD  и СD; 2) расстояние от точки А до прямой ВD; 3) радиус данной окружности.

3. Треугольник АВС с углом В, равным 135°, вписан в окружность с центром О и радиусом R = 10 см.

Найдите: 1) сторону АВ; 2) сторону АВ и S_АВС, если известно, что угол АСВ равен 30°.

4. Точки М, D и K лежат на окружности, угол DМK равен 45°, хорда DK = 12 см.

Найдите: 1) радиус данной окружности; 2) угол МКD, если известно, что DМ = 6 см.

5. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равен 3 см, KВ = 4 см, где K – точка касания окружности с боковой стороной.

Найдите: 1) сторону АС; 2) угол ВАС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

6. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и Н.

1) Докажите, что треугольник МВН  треугольнику АВС.

2) Найдите угол ВАС и радиус окружности, если АВ = 2 м, МН = 1 м.