III. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить устно задачу № 1201, используя модель тетраэдра.

Ответ: нет.

2. Решить задачу № 1202 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Прямая MN принадлежит плоскости ВСD, которая пересекается с плоскостью АВС по ВС. Продолжим ВС до пересечения с прямой MN в точке х. Точка х принадлежит и прямой MN, и плоскости АВС, так как точка х лежит на прямой ВС, принадлежащей плоскости АВС.

3. Решить задачу № 1203 самостоятельно.

Затем по готовому чертежу на доске проверяется построение сечения.

Решение

По условию МА = NА. Проводим отрезок AL, так как точки L и A принадлежат одной плоскости  MNL. Проводим отрезок АK, так как точки K и А принадлежат одной плоскости MKN. Искомое сечение – треугольник AKL.

4. Решить задачу № 1204.

Решение объясняет учитель, привлекая к обсуждению построения сечения учащихся.

Решение

1) Проводим прямую MN, продолжаем АВ до пересечения с прямой MN в точке х.

2) Точка х принадлежит плоскости АВС, и точка K принадлежит плоскости АВС, тогда проводим прямую хK, пересекающую прямые ВС и АС в точке Р и Н соответственно.

3) Проводим отрезки МР, NН и РН.

Четырехугольник РМNН – искомое сечение.

5. Решить задачу № 1206.

Решение

Докажем, что

,

где Р – периметр основания; l – апофема правильной пирамиды.

Найдем сумму площадей боковых граней правильной пирамиды. Так как боковыми гранями правильной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники и площадь треугольника равна a ∙  l, то сумма площадей всех треугольников равна

,

где а – сторона основания правильной пирамиды, n – количество сторон основания, l – апофема.

Значит, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

S = Pl.

6. Решить задачу № 1241.

Дано: АВСDK – пирамида; АВСD – параллелограмм; АD = 5 м; DС = 4 м; ВD = 3 м; KО = h = 2 м. Найти: .

Решение

1) Δ АВD = Δ СDВ (III признак, по трем сторонам). По формуле Герона найдем площадь треугольника:

,

где p = – полупериметр.

p = = 6 (м);

S  = = 6 (м²).

S_АВD  = S_СDВ = 6 м², тогда площадь основания равна

S_осн = 2 ∙  6 = 12 (м²).

Другой способ: треугольник со сторонами 3 м, 4 м и 5 м будет прямоугольным, тогда

S_АВD = ∙ 3 ∙ 4 = 6 (м²),

то S_осн = 2 ∙  6 = 12 (м²).

2) KО  ОD; ВО = ОD = 3 : 2 = 1,5 (м).

По теореме Пифагора из Δ KОD найдем KD : KD² = KО² + ОD²

KD = = 2,5 (м).

Значит, KD = KВ = 2,5 м.

3) Воспользуемся выводом задачи 953 (с. 240 учебника): «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей» – и найдем диагональ АС параллелограмма АВСD:

АС² + ВD² = 2АD²+ 2DС²;

АС² + 3² = 2 ∙ 5² + 2 ∙ 4²;

АС² + 9 = 50 + 32;

АС² = 73;

АС = (м).

4) AO = OC = (м), по теореме Пифагора из Δ АОK найдем АK:

AK² = AO² + KO²;

AK = (м);

AK = KC = м.

5) По условию KО  ОD и ОD  DС, значит, KD  DС (если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то прямая перпендикулярна и наклонной). Значит, Δ KDС – прямоугольный.

S_KDС = KD ∙ CD = ∙ 2,5 ∙ 4 = 5 (м²).

Δ KDС = Δ KВА (по двум катетам), тогда S_КDС = S_КВА = 5 м².

6) По теореме Пифагора можно было бы из Δ KDС найти KС (другой способ):

KC = =
= (м).

7) По формуле Герона найдем площадь Δ АKD:

p = .

S = =

= =

= =

= =

= (см²).

8) S_АKD = S_ВKС = см², так как Δ АKD = Δ ВKС (по трем сторонам).

9) = S_АBCD + 2S_KDC + 2S_АKD = 12 + 10 + 2 = 22 + 2 (см²).

Ответ: 22 + 2 (см²).

7. Решить задачу № 1242.

Решение

V = S_осн ∙  h;

площадь правильного (равностороннего) треугольника находится по формуле

,

где а – сторона треугольника (задача 489 на с. 132 учебника).

а = 13 см, тогда

(см²).

h = 12 см. Найдем объем правильной треугольной пирамиды:

V = ∙ 12 = 169 (см³).

Ответ: 169 см³.