Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для того, чтобы построить точку пересечения прямой с плоскостью (в общем случае) нужно:

1)  через прямую провести вспомогательную плоскость (заключить прямую во вспомогательную плоскость), пересекающую данную плоскость удобным образом, т. е. линию пересечения которой с заданной плоскостью легко построить (чаще всего проводят проецирующую плоскость);

2)  построить линию пересечения вспомогательной плоскости и данной;

3)  определить на этой линии единственную точку принадлежащую заданной прямой;

4)  если плоскость задана плоской фигурой, показать видимость.

Пример графического решения задачи показан на рис. 98, 99)

Рис. 98

Алгоритм решения задач для плоскости заданной не следами (рис. 100) такой же:

1)  через прямую m провели вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Q (Q_V┴ ox), которая пересекла плоскость треугольника ABC по линии 1÷2 (собирательное свойство следа проецирующей плоскости);

2)  на этой линии выбрали единственную точку K, принадлежащую прямой m;

3)  видимость на горизонтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек 3 и 4 (z₃  > z₄);

4) видимость на фронтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек 2 и 5 (y₅  > y₂).

Пересечение плоскостей общего положения

 Для построения линии пересечения плоскостей требуется определить две общие точки (точки, принадлежащие обеим плоскостям одновременно). Если хотя бы одна из плоскостей задана не следами, то алгоритм решения задачи следующий:

1.  рассмотреть одну из плоскостей, как плоскость, а другую, как совокупность прямых;

6)  найти точку пересечения одной из прямых с плоскостью,

7)  операцию повторить;

8)  соединить полученные точки, общие для обеих плоскостей прямой линией;

9)  определить видимость.

Задача:

Найти линию пересечения плоскостей ABC и mn.

Решение (рис. 101)

1. Воспримем плоскость ABC, как плоскость, а плоскость mn, как совокупность прямых.

2. Найдем точку пересечения прямой m с плоскостью ABC. Для этого, проведем через прямую m вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость P. Так как фронтальный след плоскости P_V обладает собирательным свойством, положение фронтальных проекций точек 1″ и 2″пересечения сторон треугольника AB и BC, соответственно, плоскостью P, легко определяется. На горизонтальной проекции линии пересечения 1′2′ выберем точку K пересечения прямой m с плоскостью ABC.

3. Аналогично найдем точку пересечения прямой n с плоскостью ABC. Для этого, проведем через прямую n вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Q. Так как фронтальный след плоскости Q_V обладает собирательным свойством, положение фронтальных проекций точек 3″ и 4″пересечения сторон треугольника AB и AC, соответственно, плоскостью Q,  легко определяется. На горизонтальной проекции линии пересечения 3′4′ выберем точку D пересечения прямой n с плоскостью ABC. Линия пересечения плоскостей ABC и mn – это линия DK.

4. Видимость на фронтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек 3 и 5 скрещивающихся прямых AB и n. Координата y точки 3, принадлежащей прямой AB, больше, чем у точки 5,принадлежащей прямойn (y₃ > y₅). Следовательно, точка 3 расположена ближе к наблюдателю, следовательно, в данном месте прямая n перекрывается плоскостью ABC, зачит плоскость mnвидна правее линии пересечения KD.

5. Видимость на горизонтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек 6 и 7 скрещивающихся прямых BC и n. Координата z точки 7, принадлежащей прямой BC, больше, чем у точки 6 (z₇ > z₆). Следовательно, точка 7 расположена выше и, следовательно, в данном месте прямая n закрыта плоскостью ABC, значит, видима часть плоскости mn левее линии пересечения KD.

В случае, когда описанный способ решения задачи по какой-либо причине неудобен (например, прямые, принадлежащие одной из плоскостей, пересекают другую плоскость вне пределов чертежа), возможен другой алгоритм решения.

Задача

Построить линию пересечения плоскостей, заданных треугольником ABC и параллельными прямыми m и n.

Решение (рис. 102)

Для построения линии пересечения плоскостей нужно найти две точки, общие для обеих плоскостей. Для их нахождения можно:

1)  провести вспомогательную плоскость, пересекающую обе заданные плоскости по удобной линии (в данном случае проведена горизонтальная плоскость уровня P;

2)  построить линии пересечения вспомогательной плоскости с обеими заданными (линии 1-2 и 3 - 4) плоскостями;

3)  определить единственную точку общую для всех трех плоскостей (точка D – место пересечения линий 1 - 2 и 3 - 4);

4)  операцию повторить. В данном случае проведена еще одна горизонтальная плоскость уровня Q. Построены линии пересечения с заданными плоскостями (линии 5 - 6 и 7 - 8). И определена единственная точка K общая для всех трех плоскостей;

5)  линия DK и будет линией пересечения плоскостей ABC и mn.