МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Методы преобразования проекций – это способы решения сложных задач путем приведения их объектов к удобному (частному положению.

Существуют два основных типа методов преобразования проекций:

1) метод замены плоскостей проекций;

2)  метод вращения.

 При использовании второго метода, вращение может быть осуществлено:

1)  вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций (иное название этого метода – метод вращения вокруг проецирующих прямых). Разновидностью этого метода является метод плоскопараллельного перемещения;

2)  вокруг линий уровня. Разновидностью этого метода является метод вращения вокруг одного из следов плоскости (иное название – метод совмещения).

Ввиду краткости курса рассмотрим только два метода преобразования проекций: метод замены плоскостей проекций и метод вращения вокруг проецирующих прямых.

Метод замены плоскостей проекций

Сущность метода заключается в том, что объект проецирования остается неподвижным в пространстве, а вводится новая вспомогательная плоскость проекций (с сохранением правил ортогонального проецирования, то есть перпендикулярно одной из имеющихся плоскостей проекций) расположенная удобно (параллельно или перпендикулярно) по отношению к объекту.

Задача

Определить действительную величину отрезка AB.

Решение (рис. 122, 123).

Отрезок проецировался бы без искажений, если бы был параллелен одной из плоскостей проекций. Поскольку отрезок AB не параллелен ни одной из плоскостей проекций проведем новую вспомогательную плоскость проекций (например V₁) перпендикулярно существующей плоскости проекций H и параллельно отрезку AB, то есть переведем его в частное положение – положение фронтали. Для этого воспользуемся одним из признаков фронтальной прямой – горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x, т. е. новую ось x₁ проведем параллельно горизонтальной проекции A′B′. В соответствии с правилами ортогонального проецирования линии проекционной связи будут перпендикулярны оси x_1.Так как при этом значения координат z для точек A и B не изменились, расстояние от старой фронтальной проекции A″ до старой оси x будет равно расстоянию от новой проекции A₁″ до новой оси x₁. Аналогично для точки B – B″B_x = B″B_x1. На новую плоскость проекций отрезок будет проецироваться в действительную величину. A″₁B″₁ = |AB|. При этом в действительную величину будет проецироваться и угол α наклона отрезка к плоскости проекций H.

Иногда однократной замены плоскостей проекций недостаточно. В этом случае операцию можно повторить, применив двух- трех- кратную замену. Рассмотрим это на примере задачи по расстояния от точки до прямой общего положения.

Задача

Определить расстояние от тоски C до прямой AB.

Решение (рис. 124).

Для того чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно опустить перпендикуляр из точки на прямую и узнать действительную величину получившегося отрезка. Задача решается просто, если прямая параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда, по теореме о проецировании прямого угла, можно задать направление перпендикуляра и построить его основание. Однако прямая AB не является прямой частного положения. Но, также как в предыдущей задаче, можно перевести отрезок из общего положения в частное, и тогда задача сведется к уже известной, рассмотренной в разделе «Теорема о проецировании прямого угла». Для того чтобы определить действительную величину перпендикуляра CD можно ввести еще одну вспомогательную плоскость проекций, параллельную отрезку CD, например новую плоскость H₂. Тогда С′С_x1 = С′₂С_x2, а D′D_x1 = D′₂D_x2.

Использование метода замены плоскостей проекций значительно облегчает решение сложных задач связанных с взаимным положением прямой и плоскости, или нескольких плоскостей (задачи на перпендикуляр к плоскости, на пересечение плоскостей, на определение угла между плоскостями и т. п.). Такие задачи легко решаются, если плоскость находится в частном положении. Рассмотрим алгоритм перевода плоскости в проецирующее положение на примере задачи по нахождению натуральной формы плоской фигуры.

Задача

Определить натуральную форму треугольника ABC.

Решение (рис. 125)

Треугольник с проецируется на плоскость проекций без искажения, если будет этой плоскости параллелен. Значит нужно ввести новую плоскость проекций, параллельную плоскости треугольника. Но, сохраняя правила ортогонального проецирования, невозможно сразу ввести плоскость перпендикулярную одной из имеющихся плоскостей проекций и параллельную плоскости треугольника. В этом случае решение разбивают на два этапа:

1)  вводят новую вспомогательную плоскость проекций перпендикулярную одной из имеющихся и перпендикулярно плоскости треугольника (переводят плоскость треугольника в проецирующее положение);

2)  проводят плоскость параллельную плоскости треугольника.

Для реализации первого этапа – перевода плоскости в проецирующее положение – необходимо использовать признаки проецирующих плоскостей.

Для горизонтально-проецирующей плоскости определяющими признаками являются:

1) собирательное свойство горизонтального следа плоскости,

2) фронтальный след плоскости и фронтальная проекция любой фронтали плоскости перпендикулярна оси x.

Для фронтально-проецирующей плоскости определяющими признаками являются:

1) собирательное свойство фронтального следа плоскости,

2) горизонтальный след плоскости и горизонтальная проекция любой горизонтали плоскости перпендикулярна оси x.

Последовательной заменой плоскостей проекций переведем плоскость треугольника ABC в положение параллельной какой-либо из плоскостей проекций.

1. Введем вспомогательную плоскость проекций V₁ перпендикулярно плоскости треугольника. При этом новая ось x₁ должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали (например, A′1′). Признаком правильности проведенного построения будет то, что новые фронтальные проекции всех точек  треугольника расположатся на одной прямой линии.

2. Введем новую плоскость проекций H₂параллельно плоскости треугольника ABC. Для этого новую ось x₂ проведем параллельно  новой фронтальной проекции A₁″B₁″C₁″. В результате на новую плоскость проекций H₂ треугольник ABC будет проецироваться без искажения.

 Метод вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций

Сущность метода заключается в том, что плоскости проекций остаются неподвижными, а одна из точек объекта проецирования фиксируется осью перпендикулярной к одной из плоскостей проекций, и затем вращением вокруг этой оси, переводится в положение удобное для решения задачи (частное).

Задача

Определить действительную величину отрезка AB и угол его наклона к плоскости проекций H.

Решение (рис. 126)

 Отрезок AB и угол α его наклона к горизонтальной плоскости проекцй были бы видны в без искажения, если бы отрезок был параллелен фронтальной плоскости проекций. Для решения задачи нужно перевести отрезок AB в положение фронтали. При этом на фронтальную плоскость без искажения будет проецироваться и сам отрезок, и угол наклона к горизонтальной плоскости проекций.

Порядок решения задачи, в данном случае следующий:

1)  выбрать ось вращения перпендикулярную плоскости проекций H и проходящую через одну из точек отрезка (например, точку B);

2)  вращать отрезок AB вокруг этой оси до тех пор, пока горизонтальная проекция отрезка A₁′B₁′ не станет параллельна оси x (признак фронтальной прямой). При этом горизонтальная проекция точки A′ будет двигаться по дуге окружности с радиусом равным величине проекции (A′B′). Поскольку при вращении координата z точки A не изменится, фронтальная проекция точки A″ будет двигаться по прямой параллельной оси x, до тех пор, пока не окажется на одной линии проекционной связи с горизонтальной проекцией A′.

Задача

Определить натуральную форму треугольника ABC.

Решение  (рис. 127).

Треугольник будет проецироваться без искажений, если будет расположен параллельно одной из плоскостей проекций. В данном случае, треугольник расположен во фронтально-проецирующей плоскости (фронтальные проекции всех точек сошлись на одну прямую). Если зафиксировать одну из точек (например, точку B) осью, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций и повернуть плоскую фигуру вокруг этой оси до положения плоскости уровня, то на горизонтальную плоскость треугольник спроецируется без искажения.

Иногда однократного поворота недостаточно. В этом случае операцию можно повторить, применив двух- трех- кратный поворот. Рассмотрим это на примере задачи по определению натуральной формы плоской фигуры.

Задача

Определить натуральную форму треугольника ABC.

Решение (рис. 128)

Так же как и при использовании метода замены плоскостей проекций, решим задачу в два этапа:

1) переведем плоскость треугольника в проецирующее положение (для этого воспользуемся признаками проецирующих плоскостей);

2) будем вращать плоскую фигуру до положения плоскости уровня (см. предыдущую задачу).

Для этого используем следующий алгоритм решения:

1. Зафиксируем одну из точек плоскости треугольника (например, точку C) осью перпендикулярной одной из плоскостей проекции. В данном случае – осью перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций.

2. Повернем треугольник вокруг этой оси до положения фронтально-проецирующей плоскости (переведем треугольник в частное фронтально-проецирующее положение). То есть после поворота фронтальные проекции всех точек треугольника должны расположиться вдоль одной прямой (собирательное свойство следа проецирующей плоскости). Так как угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекций при повороте не меняется, форма горизонтальной проекции также не должна измениться. Должно измениться ее положение. Положение новой проекции треугольника можно определить, воспользовавшись свойствами проецирующей плоскости. А именно: горизонтальный след и горизонтальная проекция горизонтали фронтально-проецирующей плоскости перпендикулярны оси x. То есть новая горизонтальная проекция горизонтали C₁′1₁′ станет перпендикулярна оси x. При этом горизонтальные проекции точек треугольника будут перемещаться по дугам окружностей. И величины проекций сторон не изменятся, т. е. задача сводится к школьному курсу – построению треугольника равного данному по трем сторонам при фиксированном положении одной из сторон.

3. Зафиксируем одну из точек плоскости треугольника (например, точку B) осью перпендикулярной одной из плоскостей  проекции. В данном случае – осью перпендикулярной фронтальной плоскости проекций.

4. Повернем треугольник вокруг этой оси до достижения им положения плоскости уровня (в данном случае до положения горизонтальной плоскости). При этом на горизонтальную плоскость проекций треугольник ABC спроецируется без искажений.