В чем заключается метод вспомогательных секущих плоскостей.

Алгоритм построений:

Найти точку пересечения осей вращения – центр вспомогательных сфер.

Обозначить точки пересечения главных меридианов исходных поверхностей.

Определить радиус наибольшей вспомогательной сферы Гmax, Его величина равна расстоянию от центра до наиболее удаленнной от него точки пересечения главных меридианов.

Найти радиус наименьшей сферы, провести очерк сферы Гmin. Она касается по окружности одной исходной поверхности и пересекает по двум окружностям другую поверхность. Построить проекции этих окружностей (это отрезки прямых) и отметить точки их пересечения.

Взять промежуточную сферу. Она пересекает исходные поверхности окружностям. Построить проекции окружностей и отметить их точки пересечения. Проекции окружностей – отрезки прямых.

Пересечение конуса прямой линией.

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса через данную прямую следует провести вспомогательную плоскость общего положения, которая пересекала бы поверхность по образующим. Такая плоскость должна быть проведена через данную прямую и вершину конуса. Чтобы определить образующие по которым плоскость пересекает конус, построим след секущей плоскости на плоскости основания конуса.

Конические сечения.

1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.

3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

Метод концентрических сфер.

Для построения линии пересечения поверхности вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии променяют способ вспомогательных концентрических сфер.

Теоремы.

Теорема 1. Теорема Монжа.

Если две поверхности второго порядка вписаны или описаны вокруг третьей, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линии касания.

Теорема 2.

Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и по второй кривой, которая является плоской.

Теорема 3. О двойном прикосновении.

Если две поверхности второго порядка имеют две точки M и N прикосновения, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения.