КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР ДЛЯ МЕТОДА ДИХОТОМИИ

    Для уравнения х - 10 sin x = 0 на интервале [0; 3] уточнить значение корня методом половинного деления с точностью e = 0,01.

    Ответ : корень х = 2,85. Погрешность Dх =0,00036

УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ МЕТОДОМ ХОРД

        Пусть корень x уравнения f (x) = 0 отделен на отрезке [а, b], причем f¢(x) и f ¢¢(x) непрерывны и сохраняют знаки при а £ х £ b. Пусть для определенности f ¢¢(x) > 0 при а £ х £ b. Случай f ¢¢(x) < 0 сводится к рассматриваемому, если записать уравнение в виде -f (x) = 0 .

При f ¢¢(x) > 0 кривая выпукла вниз. Если провести хорду АВ, то кривая будет лежать ниже хорды. При этом возможны два случая:

    1) f (a) > 0 (рис.9)

    2) f (a) < 0 (рис.10)

Рис. 9. Ситуация, когда f (a) > 0

Рис.10. Ситуация, когда f (a) < 0

Запишем уравнение хорды АВ, проходящей через точки А(а, f (a)) и В(b, f(b)):

Хорде АВ принадлежит точка х₁; в ней у = 0. Каждое очередное приближение к корню x находится как точка пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Следовательно, можно подставить х = х₁ и у = 0 в уравнение хорды. Получим

.

Выразим отсюда  х₁ = а –

Аналогично можно получить любое приближение х_n к корню x.

В первом случае (рис.9) неподвижен конец хорды а, и получаем последовательные приближения

x₀ = b,

х_n+1 = x_n – (x_n – a)   n=0,1,2…         (3)

образующие ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем

а < x< ... < x_n+1 < x_n < ... < x₁ < x₀ =b.

Во втором случае (рис.10) неподвижен конец хорды b, и последовательные приближения к корню

х₀ = a,

х_n+1 = x_n – (b – x_n)   n=0,1,2…               (4)

образующие монотонно возрастающую последовательность, причем

а = x₀ < x₁ < x₂ < ...<x_n< x_n+1 <...< x < b.

    Подведем итоги:

    1) неподвижен тот конец хорды, для которого знак f (x) совпадает со знаком второй производной f ¢¢(x);

    2) последовательные приближения к корню х_n лежат по ту сторону корня x, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f ¢¢(x). В обоих случаях каждое следующее приближение х_n+1 ближе к корню x, чем предшествующее х_n;

    3) для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой ½х_n – x_n–1½< e , где e – заданная предельная абсолютная погрешность, т.к. в этом случае гарантировано, что ½x - x_n½< e ,

    Теперь можно сформулировать алгоритм метода хорд.

АЛГОРИТМ МЕТОДА ХОРД

    ШАГ 1. Вводим концы интервала, содержащего корень уравнения и требуемую точность вычислений, а - левый конец интервала, b - правый конец интервала, e - точность.

    ШАГ 2. Вычисляем значение функции f(x) на левом конце интервала, содержащего корень, т.е. F1 = f(a).

    ШАГ 3. Вычисляем значение функции f(x) на правом конце интервала, содержащего корень, т.е. F2 = f(b).

    ШАГ 4. Вычисляем значение 2-й производной (взятой предварительно вручную) в середине отрезка, содержащего корень: F3 = f ¢¢((b - a)/2).

    ШАГ 5. Организуем счетчик числа приближений; сначала N =0.

    ШАГ 6. Выясняем, какой конец хорды неподвижен. Для этого проверяем знак произведения F1·F3. Для удобства реализации этого момента в программе введем признак р, который будет принимать некоторые фиксированные значения, например, 1 или 2, в зависимости от того, какой конец хорды неподвижен. Если знак F1 · F3 положителен, то неподвижен конец хорды а, и следует положить х₀ = b, р = 2, в противном случае, т.е. когда знак произведения отрицателен, неподвижен конец хорды b и следует положить х₀ = а, р = 1.

    ШАГ 7. Вычисляем значение f (x) в найденной точке х₀: F4 = f (х₀).

    ШАГ 8. Определяем, по какой формуле вычислять следующее приближение к корню х_n+1. Если р = 1, то используем формулу (4), если р = 2, то (3).

    ШАГ 9. Выводим на печать текущее значение N, х₀, F4, х_N+1.

    ШАГ 10. Увеличиваем номер приближения на 1, т.е. N = N+1.

    ШАГ 11. Если абсолютная величина разности между х₀ и х₁ стала меньше e, т.е. если ½х₁ - x₀½< e, то выводим на печать текущее значение приближения x₀ и полученное значение х₁, которое и будет искомым значением корня, после чего переходим на ШАГ 12. В противном случае, когда ½х_n - x_n–1½> e , в качестве х₀ берем х₁ , т.е. х₀ = х₁, и переходим на шаг 7.

    ШАГ 12. Конец задачи.