Вычисления определенного интеграла

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки х = φ(t) применяют подстановку t = g(x);

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных

38). 6.1. Определение объема тела

 Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Определение 6.1.

Тело называется простым , если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.

Определение 6.2.

Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:

равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Определение 6.3.

Тела с равными объемами называются равновеликими . Из свойства 2 следует, что если тело с объемом V 1содержится внутри тела с объемом V 2, то V 1 < V 2.

Теорема 6.1.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V = abc .

Теорема 6.2.

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = SH .

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны. Объем куба равен кубу его ребра:

V=H3

Объемы цилиндра и конуса равны соответственно

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

Объем шара, (V):