Возрастание и убывание функции. Точки максимума и минимума функции

Рассмотрим приложение производной функции к исследованию поведения функции. По первой производной функции можно определить промежутки возрастания и убывания функции, а также определить точки экстремума функции (максимум и минимум).

 Определение. Функция называется возрастающей в точке х0, если в некоторой -окрестности этой точки справедливо

для любого

Возрастание и убывание функции.

Функцию называют возрастающей на промежутке, если для любых х1 и х2принадлежавших этому промежутку, из условия < следует, что , т.е. положительному приращению аргумента соответствует положительное приращение функции.Значит Отсюда и.

Очевидно,что справедливо и обратное утверждение: если фх>0, то при х>0 следует, что у>0 т.е функция возрастает. (рис.

Функцию называют убывающей, если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку,из условиях2 >х1 следует, что,т.е. положительному приращению аргумента соответствует отрицательное приращение функции.Значит Отсюда и Справедливо и обратное утверждение: если ,то при следует, что,т.е.функция убывает(рис.28)

План отыскания промежутков возрастания и убывания функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

непрерывной функции на отрезке

Говорят, что функция ,у=ф(х) определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство .

 Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

 Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума

Билет 21 Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) Интервалы возрастания и убывания.

4) Точки максимума и минимума.

5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6) Области выпуклости и вогнутости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.