Формулы логики высказываний

Интерпретация пропозициональных переменных – процедура, состоящая в приписывании пропозициональным переменным значений. Пропозициональные переменные являются нелогическими символами, которым соответствуют высказывания естественного языка. Каждое простое дескриптивное высказывание является либо истинным, либо ложным, следовательно значениями пропозициональных переменных будут являться«истина» и «ложь».

Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:

1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно»;
2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно»;
3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.

Основные законы классической логики высказываний:

1. Закон тождества:

;

1. Закон противоречия:

;

1. Закон исключенного третьего:

;

1. Законы коммутативности и :

,
;

1. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот:

,
;

1. Закон удаления истинного члена конъюнкции:

;

1. Закон удаления ложного члена дизъюнкции:

;

1. Закон контрапозиции:

;

1. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок:

,
,
,
,
,
.

Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных формдля формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае являетсяпротиворечием. Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом. Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой.

Упражнения

1. Методом приведения к нормальной форме определить, является ли данная формула законом, противоречием или выполнимой формулой:

a.

b.

c.

d.

Высказывание за [..] запишите на языке логики высказываний. Видоизмените формулу таким образом, чтобы она стала логическим законом/логическим противоречием. Методом приведения к нормальной форме докажите это. Запишите полученное высказывание и сравните его с исходным:

[Рошфуко справедливо заметил, что] трудно в одно и то же время высоко уважать человека и сильно любить его. Согласно с этим, нам предстоял бы выбор или добиваться любви людей, или снискивать их уважение. (А. Шопенгауэр)