Отношения между объемами понятий

Формальная логика. Предмет. Базовые понятия

Мышление – активный процесс отражения объективного мира в понятиях, суждениях, научных теориях, гипотезах и т.п., имеющий опосредованный, обобщенный характер, связанный с решением нетривиальных задач. Механизмы мышления исследуются различными науками: психологией, физиологией высшей нервной деятельности, кибернетикой, лингвистикой и т.д. Интерес логики к мышлению связан с возможностью его рассмотрения с антипсихологистических позиций, как интерсубъективного феномена, находящего объективное выражение в знаковых – или семиотических – системах, языках.

Формальная логика – наука о законах и операциях правильного мышления. Предметом логики являются реальные процессы рассуждений, рассмотренные с позиций их логической правильности. Согласно основному принципу формальной логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Отличительная особенность правильного вывода состоит в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению.

Логическая форма – способ связи содержательных частей рассуждения (доказательства, вывода и т.п.). Логическая форма представляется посредством логических констант и переменных. Различие между логической формой и содержанием не является абсолютным: то, что в одних случаях считается относящимся к форме, в других может оказаться принадлежащим содержанию высказывания или рассуждения. Запись логической формывысказывания в символическом виде называется формализацией.

Язык – знаковая система, используемая для целей коммуникации и познания. Все языкимогут быть разделены на естественные, искусственные и частично искусственные. Естественные языки возникают спонтанно в процессе общения людей. К естественнымязыкам относятся все национальные языки. Искусственные языки создаются людьми для каких-либо специальных целей (таковы, например, языки математики, логики, различные шифры и т.п.). Характерной особенностью искусственных языков является однозначная определенность их словаря, правил преобразования выражений и придания им значения.Язык логики является языком формализованным. Его построение предполагает принятие особой теории логического анализа.

Истина – мысль или высказывание, соответствующее своему предмету. Вопрос обистине принадлежит сфере философии. Для логики важно иметь в виду следующее: реальность, относительно которой наши мысли оцениваются как истинные или ложные, не обязательно должна быть физической реальностью. Это может быть реальность художественного вымысла или идеализированных объектов. К примеру, утверждение «Отелло задушил Дездемону» истинно, а утверждение «Гамлет женился на Офелии» ложно в мирах, создаваемых текстом пьес Шекспира. В логике понятие истины говорит о соответствии мысли своему объекту, но никак не касается природы этих объектов. Логика не занимается установлением истинности или ложности наших высказываний о мире. Это дело конкретных наук. Однако посредством понятия истины определяются важнейшие для логики понятия логического следования и логического вывода.

Логическое следование – отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики и универсального определения не имеет.

Понятие как форма мышления

Понятие – мысль, которая посредством указания на некоторый признак выделяет из универсума и собирает в класс (обобщает) предметы, обладающие этим признаком. Следует различать понятие и имя. Имя есть выражение естествен-ного или искусственного языка, обозначающее отдельный предмет, совокуп-ность сходных предметов, свойства, отношения и т.п.

Класс, множество – конечная или бесконечная совокупность объектов, выделенная по общему для них признаку (свойству или отношению), мыслимая как нечто целое. Объекты, составляющие класс, называются его элементами. Некоторое множество объектов, рассматриваемых в пределах одного рассуждения, носит название предметной области илиуниверсума рассуждения. Если универсум рассуждения представляет собой понятие, то по отношению к нему употребляется термин «универсальный класс».

Предмет (объект) – в логике любой фиксируемый мыслью фрагмент действительности как физической, так и психической. Предметами могут являться сами множества, их единичные элементы – логические индивиды, n-ки логических индивидов (подмножества).

Объем понятия (экстенсионал) – множество предметов, подпадающих под данное понятие. По объему понятия делятся на:

• Общие – их объем содержит более одного элемента* (студент, молекула)
• Единичные – их объем содержит один и только один элемент (первый космонавт, столица Белоруссии)
• Нулевые (пустые множества) – их объем не содержит ни одного элемента (кентавр, абсолютно черное тело)

* под элементом здесь следует понимать фрагмент универсума «Реальность»; так, в мире Античной мифологии понятие «кентавр» не является пустым, но оно будет таковым в универсуме «Реальность».

Содержание понятия (интенсионал) – совокупность признаков, позволяющих объединить некоторое число предметов в класс (обобщить).

Закон обратного отношения между объемом и содержанием понятия – объем понятияаА(а) составляет часть объема понятия аВ(а), если и только если содержание аВ(а)является частью содержания аА(а).

Понятия с нечетким объемом (нечеткие множества) – понятия, объем которых не имеет четких границ, поскольку вопрос о принадлежности некоторого элемента множеству представляет собой вопрос о степени этой принадлежности. Так, понятие «глубокая река» является понятием с нечетким объемом, поскольку не существует однозначного критерия «глубины», это относительный критерий и принадлежность элементов к указанному множеству будет определяться по степени приближения/удаления к/от идеалу: «самая глубокая река». В этом случае степень принадлежности элемента к множеству варьирует в промежутке [1,0], т.е. от однозначно «глубокой реки» до безусловно «мелкой реки». Существование промежуточной «области» рек делает границу между понятиями «глубокая река» – «мелкая река» нечеткой.

Неясные понятия – понятия с недостаточно определенным, расплывчатым смыслом. Например, понятие «живое существо» является вполне точным, объем этого понятия четко ограничен. Вместе с тем содержание этого понятия не вполне ясно. Существуют десятки определений жизни, и вряд ли какое-то из них является окончательным.

Виды понятий

Абстрактные/конкретные – понятие считается конкретным, если элементами его объема являются индивиды, n-ки индивидов или множества индивидов. В противном случае понятие считается абстрактным.

Собирательные/несобирательные – к собирательным относятся понятия, объем которых состоит из элементов, представляющих собой множества-агрегаты (лес, коллектив, библиотека).

Положительные/отрицательные – понятия, утверждающие наличие у обобщаемых в класс предметов тех или иных качеств или свойств (понятиеобразующих признаков), относятся к положительным. Понятия, отрицающие наличие понятиеобразующего признака называются отрицательными. Следует принять во внимание, что данные характеристики понятий являются сугубо логическими характеристиками. Например, понятие «невиновность» будет отрицательным, об этом говорит его логическая форма. В символической записи отрицание понятий передается знаком .

Отношения между объемами понятий

В логике отношения между объемами понятий могут быть отображены посредством кругов Эйлера, понятия принято обозначать заглавными латинскими буквами (F,M,N,P,Q и т.п.). Выделяют отношения совместимости и несовместимости, и, таким образом, говорят о совместимых и несовместимых понятиях.

Совместимость – вид отношения между понятиями и суждениями. Два понятия называютсовместимыми, если их объемы совпадают полностью или частично, т.е. имеют хотя бы один общий элемент. К отношениям совместимости относятся равнообъемность, подчинение, перекрещивание:

Равнообъемность – отношение между понятиями, объемы которых совпадают. (равносторонний треугольник – равноугольный треугольник; животное, производящее орудия труда – животное с мягкой мочкой уха).

Подчинение – отношение между понятиями, при котором объем одного понятия полностью входит в объем другого. Понятие большего объема именуется родовым, понятие меньшего объема именуется видовым (газ – неон; закон – закон природы).

Перекрещивание – отношение между понятиями, при котором объемы двух, или более, понятий имеют общую область (юрист – депутат; животное – существо, имеющее крылья).

Несовместимыми называют понятия, объемы которых не имеют общих элементов. К отношениям несовместимости относятся внеположенность, соподчинение, контрарность, контрадикторность:

Внеположенность – отношение между несовместимыми понятиями, не принадлежащими одному универсальному классу. Экстенсиональная логика исходит из допущения, что в реальной практике рассуждений не встречается понятий, которые было бы невозможно поместить в один универсальный класс.

Соподчинение (координация) – отношение между понятиями, принадлежащих некоему одному универсальному классу, объемы которых, однако, не имеют общих элементов. Соподчиненные понятия не исчерпывают объем родового понятия (универсального класса). Универсальный класс на схемах обозначается прямоугольником с символом U.

Контрарность (противоположность) – отношение между двумя понятиями, выражающими предельно противоположные признаки, выделенные на какой-то (более или менее четко определенной) шкале оценок, представляющей универсальный класс по отношению к входящим в него понятиям. Причем сумма объемов контрарных понятий не исчерпывает объема универсального класса (молодой – старый; короткий – длинный).

Контрадикторность (противоречие) – отношение между двумя понятиями, каждое из которых является отрицанием другого, а сумма их объемов составляет полностью объем некоего универсального класса (демократический – не-демократический).

Операции с понятиями

Определение (дефиниция) – логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Определение решает две задачи: во-первых, оно отличает и отграничивает определяемый предмет от всех иных; во-вторых, оно раскрывает сущность определяемых предметов, указывая те основные признаки, без которых предмет не может существовать. Определение следует отличать от описания и характеристики.
Различают определения:

Правила определения:

1. Определение должно быть соразмерным: объем дефиниендума должен быть равен объему дефиниенса (dfd = dfs);
   Нарушения:

· Слишком широкое определение (dfd < dfs);

· Слишком узкое определение (dfd > dfs);

Определение не должно содержать круга;

Определение должно быть ясным (недопустимо определять неизвестное через неизвестное);

Определение не должно быть отрицательным.

Виды определений:

Классическое (родо-видовое) – определение, при котором определяемое понятие подводится под ближайший род и указывается его видовое отличие.

Генетическое – разновидность классического определения, при котором спецификация определяемого осуществляется путем указания способа его образования, получения или построения.

Операциональное – определение физических величин посредством описания совокупности специфицирующих их экспериментально-измерительных операций.

Остенсивное – неявное определение, раскрывающее содержание определяемого понятия путем непосредственного указания, демонстрации.

Аксиоматическое – неявное определение понятия путем указания множества аксиом, в которые оно входит наряду с другими понятиями. Аксиома представляет собой утверждение, принимаемое без доказательств.

Обобщение и ограничение понятий – логические операции, основанные на законе обратного отношения между объемом и содержанием понятий. Обобщение – логическая операция перехода от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом.Ограничение – логическая операция перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом.

Деление – логическая операция, посредством которой объем делимого понятия распределяется на известные классы (множества) с точки зрения некоторого признака. Посредством операции деления раскрывается объем того или иного понятия, выясняется, из каких подмножеств состоит множество, соответствующее делимому понятию. Логическое деление следует отличать от разбиения на части.

Виды деления:

По видообразующему признаку Объем делимого понятия делится на подмножества по некоторому основанию. Члены деления – множества понятий, полученные в результате деления; Основание деления – признак, по которому производится деление;

Дихотомическое Объем делимого понятия делится на два противоречащих понятия:

Правила деления:

1. Деление должно быть соразмерным, т.е. объем делимого понятия должен быть равен сумме объемов членов деления. Нарушение этого правила влечет ошибки, именуемыенеполным делением или делением с лишними членами;
2. Деление должно производиться по одному основанию;
3. Члены деления должны исключать друг друга;
4. Деление должно быть непрерывным. Нарушение этого правила влечет ошибку, именуемую скачком в делении.

Особым случаем деления является классификация – многоступенчатое, разветвленноеделение логического объема понятий. Результатом классификации является система соподчиненных понятий. Классификации подразделяются на естественные и искусственные. Естественные классификации в качестве основания используют существенные признаки упорядочиваемых объектов. Искусственные классификацииосновываются на несущественных признаках объектов, вплоть до ссылки на начальные буквы их имен (алфавитные указатели и т.п.).

Высказывание

Высказывание – (пропозиция) – грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом. Традиционная логика не использует термин «высказывание», разрабатывая учение о суждении. Под суждением в традиционной логической теории понимается мысль, содержащая утверждение о наличии в действительности того или иного положения дел. Отличительной особенностью сужденияявляется его двузначная семантика: суждение всегда либо истинно, либо ложно.Высказывание в отличие от суждения может не иметь значения истинности (например,нормативные или оценочные высказывания); возможны высказывания, совмещающие в себе оба значения истинности (парадоксы); существуют выражения, имеющие иные, кроме «истинно/ложно», значения (например, «возможно», «бессмысленно», «парадоксально»). Подобные высказывания исследуются в неклассических логических теориях. Различают простые и сложные высказывания.

Высказывание дескриптивное – (дескрипция) – высказывание, главной функцией которого является описание действительности. Понятие дескрипции может быть прояснено путем противопоставления оценочному высказыванию. Эти два вида высказываний являются выражением двух противоположных отношений мысли к действительности: истинностного и ценностного. Классическая логика исследует в первую очередь именнодескриптивные высказывания, признавая в качестве аксиомы положение о том, что высказывания всегда либо истинны, либо ложны (принцип двузначности). Дескриптивное высказывание признается истинным тогда и только тогда, когда описываемое в нем положение дел имеет место в действительности, в противном случае оно ложно.

Пропозициональная функция – функция, область значений которой составляютвысказывания, обладающие определенным истинностным значением. По своей структурепропозициональная функция сходна с грамматическим предложением, но отличается от последнего наличием переменных. Пример: «х – есть человек, впервые достигший Южного полюса». Если в данном случае на место переменной х мы подставим имя «Амундсен», мы получим истинное высказывание; если же мы подставим имя «Скотт», мы получимложное высказывание.

Модальность высказываний - оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения.Модальности выражаются посредством модальных квалификаторов (или модальных операторов), которые придают высказыванию добавочный смысл. Результатами присвоениямодальных квалификаторов простым высказываниям являются модальные высказывания, общей формой которых будет форма: М(S есть P) или М(S не есть P), где М обозначает модальность. Логические связи модальных высказываний исследует модальная логика. Основные модально-сти с соответствующими модальными квалификаторами отражены в таблице:

(таблица модальностей приводится по: Ивин А.А. Логика норм. – М., 1973)

Классическая логика исследует по преимуществу алетические онтологические модальности и выделяет в этой связи следующие типы суждений:

• Ассерторические – суждения, выражающие утверждения о фактах;
• Аподиктические – суждения, представляющие собой формулировки законов;
• Вероятностные – суждения, допускающие возможность утверждаемого положения дел.

Силлогистика