Классическая логика высказываний

Логика высказываний (пропозициональная логика) – раздел логики, формализующий употребление логических связок, служащих для образования сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется сложным. В логике высказыванийпростые высказывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется егоистинностным значением.

Пропозициональная связка – операция, позволяющая из одних высказываний строить новые высказывания. Отличительной особенностью пропозициональных связок в классической логике высказываний является тот факт, что значение истинности сложных высказываний, образованных с их помощью, зависит только от значений истинностивходящих в них простых высказываний. Это позволяет рассматривать пропозициональные связки как особого вида функции – функции истинности, знаки этих функций именуютистинностно-функциональными. В качестве основных выделяют следующиепропозициональные связки:

Отрицание – унарная пропозициональная связка, логический смысл которой состоит в образовании высказывания, утверждающего отсутствие положения дел, описываемого в исходном высказывании. Обозначается знаком « », читается ( А) «неверно, что А»;

Конъюнкция – бинарная связка, образующая сложное высказывание, утверждающееодновременное наличие двух положений дел, описываемых в исходных высказываниях. То есть, конъюнкция принимает значение «истинно», тогда и только тогда, когда истинны оба конъюнкта. Обозначается знаком « », читается (А В) «А и В». В естественном языке может выражаться посредством и других союзов или союзных слов: «а», «но», «а также» и т.п.;

Дизъюнкция – бинарная связка, образующая сложное высказывание, утверждающее наличие по крайней мере одного из описываемых положений дел. Иными словами, дизъюнкция принимает значение «ложно», если и только если ложны оба дизъюнкта. Обозначается знаком « », читается (А В) «А или В»;

Строгая (разделительная) дизъюнкция – бинарная связка, образующая сложное высказывание, утверждающее наличие одного и только одного из двух альтернативных положений дел. Строгая дизъюнкция принимает значение «истинно» тогда и только тогда, когда входящие в ее состав высказывания имеют различные значения истинности. Обозначается знаком « », читается (А В) «либо А, либо В»;

Импликация материальная – бинарная связка, образующая сложное высказывание, утверждающее, что если имеет место положение дел, описываемое первым высказыванием, то имеет место положение дел, описываемое вторым высказыванием. Первый член импликации именуется антецедентом, второй – консеквентом.Импликация принимает значение «ложно» тогда и только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен. Обозначается знаком « », читается (А В) «если А, то В»;

Эквиваленция материальная – бинарная связка, образующая сложное высказывание, утверждающая, что положения дел, описываемые простыми высказываниями либо одновременно имеют место, либо одновременно отсутствуют. Эквиваленцияпринимает значение «истинно» тогда и только тогда, когда входящие в ее состав высказывания имеют одинаковые значения истинности. Обозначается знаком « », читается (А В) «А тогда и только тогда, когда В», или «.. если и только если..».

Полнота функционально-истинностных связок: существует бесконечное числофункций истинности, хотя для каждого n число n-местных функций истинности конечно и равно 2²ⁿ . Так, количество одноместных функций – 4, двухместных – 16, трехместных – 256 и т.д. Полная система функций истинности для двух аргументов (переменных) будет выглядеть таким образом:

Как видно из таблицы, для некоторых наборов значений истинности отсутствуют символы пропозициональных связок, однако это не означает, что данные истинностные функции невыразимы. Принцип функциональной полноты логики высказываний состоит в том, что любую функцию истинности можно выразить посредством некоторого конечного набора функций. Для системы бинарных связок функционально полным будет набор: , , , .

Истинностные функции, выражаемые посредством связок и , могут быть представлены в виде:

Истинностные функции, представленные знаками (знак Нико) и (штрих Шеффера, эту связку иногда называют антиконъюнкцией), могут быть выражены посредством конъюнкции и отрицания:

Связка, представленная знаком « » (репликация), равносильна импликации сотрицанием антецедента и консеквента:

Сложнее обстоит дело с истинностными функциями для наборов «…² » и «…⁶». В естественном языке для них нет соответствующих выражений. Все остальныеистинностные функции (…¹, …³, …⁴ и …⁵) могут быть выражены средствамифункционально полной системы связок.

Условные высказывания: к таковым относятся материальная импликация, репликацияи эквиваленция. Три указанные вида пропозициональных связок соответствуют трем видам условия: достаточное условие (материальная импликация), необходимое условие(репликация) и достаточное и необходимое условие (эквиваленция). В классической логике высказываний под условием понимается исключительно формальная связь двух положений дел, истинность сложного высказывания обусловлена здесь только значением истинности простых высказываний и семантикой связки, их объединяющей. К примеру, высказывание «Если Земля имеет форму чемодана, то апельсины растут на березе» в соответствии с семантикой материальной импликации будет истинным, тогда как высказывание «Если Земля имеет форму апельсина, то чемоданы растут на березе» в силу тех же самых условий будет ложным.

Язык логики высказываний

Алфавит языка логики ысказываний:

1. Пропозициональные переменные: параметры, которыми замещаются простые высказывания. Обозначаются символами: p, q, r, s, p₁, q₁, r₁, s₁, p₂ … ;
2. Истинностно-функциональные пропозициональные связки: , , , ;
3. Логические символы: « » – константа истинности; « » – константа ложности; « » – знак логического следования;
4. Технические символы: (,);

Выражением языка классической логики высказываний будем называть любую последовательность знаков его алфавита.

Формулы языка логики высказываний – правильно построенные выражения языка логики высказываний.
Определение:

1. Всякая пропозициональная переменная является формулой;
2. Если А - формула, то А также является формулой;
3. Если А и В - формулы, то выражения (А В), (А В), (А В), (А В), (А В) также являются формулами;
4. Ничто иное не является формулой.

Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется ее подформулой. В сложнойформуле всегда можно выделить связку, которая называется ее главным знаком, – т.е. ту, которая связывает между собой подформулы.