Игры против природы – наши критерии

Особое место в теории игр занимают игры против природы, которые ещё носят названиевыбора решений при неопределённости. Природа хотя и делает случайные ходы, но не является злонамеренным игроком, так как она не стремится сделать как можно хуже своему противнику и не обладает разумом. Поэтому и выбор решения в такой ситуации имеет свои особенности.

11.3.3 Обгрунтування рішень на основі змішаних стратегій

В економічній практиці у більшості ігор сідлова точка у чистих стратегіях відсутня, що не дозволяє однозначно визначити оптимальні стратегії гравців. В таких випадках використовуються змішані стратегії, у яких випадковим чином чергуються особисті стратегії. Цей метод широко використовується в господарській практиці, що виражається у стратегії диверсифікації. Наприклад, виробники, не знаючи заздалегідь точних даних щодо попиту, прагнуть розширити асортимент продукції; інвестори вкладають кошти у різні цінні папери і т. д. Отже, гравці намагаються отримати максимальний виграш (мінімальний програш), застосовуючи не одну, а кілька стратегій.

Точний метод знаходження оптимальної змішаної стратегії зводиться до задачі лінійного програмування, який досить трудомісткий. Існують спеціальні комп᾽ютерні програми, що реалізують цей метод [машина, сороки, дубров, клименко, ивченко]. Однак можна спробувати знайти оптимальне рішення в умовах конфлікту на основі змішаних стратегій.

Змішана стратегія гравця – це повний набір застосування його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в тих самих умовах із заданими ймовірностями.

Умови застосування змішаних стратегій:

- гра не має сідлової точки;

- гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із заданими ймовірностями;

- гра багаторазово повторюється в подібних умовах;

- при кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;

- допускається осереднення результатів ігор [машина, сороки, клименко].

При використанні змішаних стратегій використовують наступні основні положення, наведені у [машина, сороки, дубров, клименко, ивченко].

Для гравця А змішана стратегія полягає в застосуванні чистих стратегій А₁, А₂, …А_m з відповідними ймовірностями р₁, р₂, …р_m позначається матрицею

,

за умови, що

Для гравця В

,

за умови, що , де – ймовірність застосування чистої стратегії В_j.

В окремому випадку, коли , для гравця А маємо чисту стратегію:

Чисті стратегії гравця є єдино можливими неспільними подіями [сороки, клименкоУчебник]. У матричній грі при заданих векторах  і  можна визначити середній виграш гравця А:

де  і  – вектори відповідних ймовірностей;

 і – компоненти цих векторів.

Шляхом застосування своїх мішаних стратегій гравець А прагне максимально збільшити свій середній виграш, а гравець В – мінімізувати виграш гравця А. Гравець А прагне досягти виконання умови:

Гравець В домагається виконання протилежної умови:

Вектори, що відповідають оптимальним мішаним стратегіям гравців А і В, позначимо як  і . Для цих векторів виконується рівність:

Ціна гри  – середній виграш гравця А при використанні обома гравцями змішаних стратегій.

Розв᾽язком матричної гри є оптимальна змішана стратегія гравця А ( ); оптимальна змішана стратегія гравця В ( ) та ціна гри ( ).

Змішані стратегії будуть оптимальними (  і ), якщо вони утворюють сідлову точку для функції , тобто

.

Основна теорема теорії ігор. Для матричної гри з будь-якою матрицею А величини  і  існують, вони рівні між собою і дорівнюють ціні гри: .

При виборі оптимальних стратегій гравцю А завжди буде гарантований середній виграш, не менший, ніж ціна гри, за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В - навпаки).

Активними стратегіями гравців А і В називають стратегії, що входять до складу оптимальних змішаних стратегій відповідних гравців з ймовірностями, відмінними від нуля. Отже, до складу оптимальних змішаних стратегій можуть входити не всі апріорі задані їх стратегії.

Розглянемо окремий випадок розв᾽язання задач на основі змішаних стратегій. Найпростіша гра може бути описана матрицею 2 2. За відсутності сідлової точки можна отримати дві оптимальні змішані стратегії, які записуються так:

;                      .

Отже, є платіжна матриця:

.

При цьому

звідки одержуємо оптимальні значення  та .

Знаючи  та , знаходимо :

Обчисливши , знаходимо  та :

Задачу розв᾽язано, оскільки знайдено вектори  і ціна гри .

Це завдання можна розв᾽язати графічним методом, використовуючи наступний алгоритм:

- по осі абсцис відкладається відрізок одиничної довжини;

- по осі ординат відклажаються виграші при стратегії А₁;

- на лінії, паралельній осі ординат, у точці 1 відкладаються виграші при стратегії А₂;

- кінці відрізків позначаються для , ; ;  та проводяться прямі лінії  та ;

- визначається ордината точки перетину проведених прямих ліній, яка позначається с. Висота перпендикуляру, опущеного з цієї точки на ось абсцис, дорівнює . Абсциса точки с дорівнює  ( ).

Графічне зображення цього алгоритму наведено на рисунку 11.1.

Рисунок 11.1 – Графічний метод знаходження оптимальної змішаної стратегії

Даний метод має досить широку сферу використання, що огрунтується на загальній властивості ігор , яка полягає в тому, що у будь-якій грі  кожен гравець має оптимальну змішану стратегію, у якій кількість чистих стратегій не перевищує . З цієї властивості випливає, що у будь-якій грі  та  кожна оптимальна стратегія  та  містить не більш двох активних стратегій. Отже, будь-яка гра  або  може бути зведена до гри 2 2 та розв᾽язана графічним методом. Якщо матриця скінченної гри має розмірність , де  і , то для визначення оптимальних змішаних стратегій використовується лінійне програмування. Опис цього розв᾽язання докладно описаний у [івченко, с153].

Контрольні питання

1 Поняття конфліктної ситуації. Причини виникнення конфліктних ситуацій.

2 Особливості розв᾽язання завдань в умовах невизначеності та конфлікту.

3 Система понять теорії ігор.

4 Сутність мажорування стратегій гравців.

5 Порядок обгрунтування рішень на основі чистих стратегій

6 Способи вибору рішень на основі змішаних стратегій.