II ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

Задание 1.Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами

1 а) ;	б) ;	в) .
2 а) ;	б) ;	в) .
3 а) ;	б) ;	в) .
4 а) ;	б) ;	в) .
5 а) ;	б) ;	в) .
6 а) ;	б) ;	в) .
7  а) ;	б) ;	в) .
8   а) ;	б) ;	в) .
9  а) ;	б) ;	в) .
10 а) ;	б) ;	в) .
11 а) ;	б) ;	в) .
12 а) ;	б) ;	в) .
13 а) ;	б) ;	в) .

14 а) ;	б) ;	в) .
15 а) ;	б) ;	в) .
16 а) ;	б) ;	в) .
17 а) ;	б) ;	в) .
18 а) ;	б) ;	в) .
19 а) ;	б) ;	в) .
20 а) ;	б) ;	в) .
21 а) ;	б) ;	в) .
22 а) ;	б) ;	в) .
23 а) ;	б) ;	в) .
24 а) ;	б) ;	в) .
25а) ;	б) ;	в) .

Задание 2.Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

1 ;	2 ;	3 ;
4 ;	5 ;	6 ;

7 ;	8 ;	9 ;
10 ;	11 ;	12 ;
13 ;	14 ;	15 ;
16 ;	17 ;	18 ;
19 ;	20 ;	21 ;
22 ;	23 ;	24 ;
25 .

Задание 3.В цехе имеется N резервных электродвигателей. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он отключен, соответственно равна р_i, i = 1,…, N. Найти вероятность того, что включены:

1 N = 3, p₁ = 0,9, p₂ = 0,8, p₃ = 0,7

а) два электродвигателя; б) не более одного; в) три электродвигателя.

2 N = 3, p₁ = 0,6, p₂ = 0,7, p₃ = 0,8

а) три электродвигателя; б) хотя бы один; в) более одного электродвигателя.

3 N = 4, p₁ = 0,9, p₂ = 0,8, p₃ = 0,7, p₄ = 0,9

а) не менее трех электродвигателей; б) хотя бы один; в) два электродвигателя.

4 N = 3, p₁ = 0,9, p₂ = 0,7, p₃ = 0,73

а) хотя бы один; б) два электродвигателя; в) только один электродвигатель.

5 N = 3, p₁ = 0,7, p₂ = 0,8, p₃ = 0,9

а) три электродвигателя; б) не менее двух; в) только один электродвигатель.

6 N = 4, p₁ = 0,6, p₂ = 0,8, p₃ = 0,7, p₄ = 0,9

а) все четыре электродвигателя; б) более двух; в) только один.

7 N=3, p₁=0,7; p₂=0,8; p₃=0,6

а) два электродвигателя; б) хотя бы один; в) один электродвигатель.

8 N = 3, p₁ = 0,95, p₂ = 0,9, p₃ = 0,8

а) более двух электродвигателей; б) один электродвигатель; в) хотя бы один.

9 N = 4, p₁ = 0,8, p₂ = 0,7, p₃ = 0,8, p₄ = 0,9

а) два электродвигателя; б) хотя бы один; в) менее двух электродвигателей.

10 N = 3, p₁ = 0,9, p₂ = 0,85, p₃ = 0,8

а) три электродвигателя; б) хотя бы один; в) не более двух электродвигателей.

11 N = 4, p₁ = 0,75, p₂ = 0,8, p₃ = 0,9, p₄ = 0,7

а) два электродвигателя; б) хотя бы один; в) не менее трех электродвигателей.

12 N = 3, p₁ = 0,75, p₂ = 0,8, p₃ = 0,9

а) хотя бы один; б) два электродвигателя; в) менее двух электродвигателей.

13 N = 3, p₁ = 0,8, p₂ = 0,9, p₃ = 0,6

а) три электродвигателя; б) не менее двух; в) не более двух электродвигателей.

14 N = 4, p₁ = 0,95, p₂ = 0,9, p₃ = 0,8, p₄ = 0,85

а) хотя бы один; б) менее двух; в) три электродвигателя.

15 N = 3, p₁ = 0,7, p₂ = 0,8, p₃ = 0,75

а) один электродвигатель; б) хотя бы один; в) более одного электродвигателя.

16 N = 3, p₁ = 0,75, p₂ = 0,85, p₃ = 0,9

а) два электродвигателя; б) не менее двух электродвигателей; в) хотя бы один.

17 N = 4, p₁ = 0,9, p₂ = 0,75, p₃ = 0,8 , p₄ = 0,7

а) два электродвигателя; б) не более трех электродвигателей; в) хотя бы один.

18 N = 3, p₁ = 0,93, p₂ = 0,9, p₃ = 0,85

а) хотя бы один; б) более двух электродвигателей; в) два электродвигателя.

19 N = 4, p₁ = 0,78, p₂ = 0,8, p₃ = 0,7, p₄ = 0,85

а) три электродвигателя; б) хотя бы один; в) не менее двух электродвигателей.

20 N = 3, p₁ = 0,9, p₂ = 0,87, p₃ = 0,8

а) один электродвигатель; б) хотя бы один; в) не менее двух электродвигателей.

21  N = 4, p₁ = 0,9, p₂ = 0,85, p₃ = 0,87, p₄ = 0,8

а) один электродвигатель; б) хотя бы один; в) не более трех электродвигателей.

22  N = 3, p₁ = 0,82, p₂ = 0,8, p₃ = 0,9

а) два электродвигателя; б) менее двух электродвигателей; в) хотя бы один.

23  N = 4, p₁ = 0,6, p₂ = 0,75, p₃ = 0,8, p₄ = 0,87

а) два электродвигателя; б) более двух электродвигателей; в) хотя бы один.

24  N = 3, p₁ = 0,78, p₂ = 0,83, p₃ = 0,8

а) хотя бы один; б) не более двух электродвигателей; в) три электродвигателя.

25  N = 4, p₁ = 0,9, p₂ = 0,83, p₃ = 0,8 p₄ = 0,78

а) три электродвигателя; б) хотя бы один; в) менее трех электродвигателей.

Задание 4.На участке, изготовляющем болты, первый станок производит а %, второй – b % изделий, остальные изделия производит третий станок. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым станком высшего качества, равна р₁, вторым – р₂, третьим – р₃. Найти вероятность того, что

а) случайно взятый болт – высшего качества;

б) взятый наугад болт высшего качества. На каком из станков он вероятнее всего изготовлен.

Численные значения а, b, р₁, р₂, р₃ заданы в таблице 4.

Таблица 4

Задание 5.Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

(Численные значения р₁, р₂ заданы в таблице 5, р₃ – неизвестно). Найти:

а) р₃;

б) математическое ожидание М(х);

в) дисперсию D(x);

г) функцию распределения F(x) и построить ее график.

Таблица 5

Продолжение таблицы 5

Задание 6.В результате контроля поступившей на склад продукции получены данные, записанные в виде статистического ряда (таблица 6). Требуется:

1) cоставить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;

2) построить полигон и гистограмму относительных частот;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;

4) вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочную дисперсию D_B(X)).

    Таблица 6

Указание: Рассматривать выборку объёма п = 50. Для каждого конкретного варианта надо выбрать из 10 предложенных столбцов статистических данных таблицы 6 только 5 столбцов согласно таблице 7

    Таблица 7

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1 Числовые ряды. Сходимость ряда и его сумма.

2 Необходимый признак сходимости числового ряда. Линейные операции над сходящимися рядами.

3 Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: Д’Аламбера, Коши, интегральный признак Коши, признаки сравнения.

4 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

5 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

6 Функциональные ряды. Область сходимости.

7 Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Теорема Абеля.

8 Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора.

9 Применение рядов к приближенным вычислениям.

10  Тригонометрические системы функций. Свойства периодических функций.

11  Ряд Фурье для периодических функций. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

12  Предмет теории вероятностей.

13  Элементы комбинаторики.

14  Пространство элементарных событий.

15  Алгебра событий.

16  Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

17  Основные теоремы теории вероятностей: вероятность суммы несовместных и совместных событий, вероятность произведения зависимых и независимых событий.

18  Формула полной вероятности. Вероятность гипотез (формулы Байеса).

19  Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.

20  Теорема Пуассона.

21  Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

22  Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.

23  Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

24  Случайные величины (СВ). Понятие СВ. Закон распределения СВ.

25  Дискретные СВ и законы их распределения.

26  Непрерывные СВ и законы их распределения.

27  Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

28  Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Определение и ее свойства.

29  Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Мода, медиана.

30  Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

31  Начальный и центральный моменты порядка р.

32  Биномиальное распределение, числовые характеристики.

33  Распределение Пуассона, числовые характеристики.

34  Геометрическое распределение. Определение, числовые характеристики.

35  Равномерное распределение. Определение, числовые характеристики.

36  Показательное распределение. Определение, числовые характеристики.

37  Нормальное распределение. Свойства нормального распределения.

38  Вероятность попадания нормально распределенной СВ в данный интервал.

39  Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева, теорема Бернулли.

40  Двумерные СВ. Функция и плотность распределения системы двух СВ.

41  Законы распределения составляющих системы СВ.

42  Корреляционная зависимость, корреляционный момент, коэффициент корреляции.

43  Предмет и задачи математической статистики.

44  Генеральная и выборочная совокупности.

45  Статистическое распределение выборки.

46  Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

47  Числовые характеристики вариационных рядов.

48  Оценки параметров распределения по опытным данным.

49  Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

50  Построение доверительного интервала для математического ожидания при известном  среднем квадратическом отклонении σ для нормально распределенной СВ.

51  Построение доверительного интервала нормально распределенной СВ для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении σ.

52  Построение доверительного интервала для дисперсии.

53  Понятие статистической проверки гипотез.

54  Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

55  Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия Пирсона χ².

ЛИТЕРАТУРА

1 Гусак, А.А. Высшая математика: в 2т / А.А. Гусак. – Минск: Выш.шк.,1976. – 2003г. – Т.2 – 327 c.

2 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1977 – 2003г. – 479 с.

3 Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман.– М.: Высшая школа, 1975–2003. – 400 с.

4 Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / А.П. Рябушко [и др.]; под общ. ред. А.П. Рябушко. –  Минск: Выш.шк., 1992. – 191 с.

5 Шнейдер, В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е.Шнейдер, А.С. Слуцкий, А.С. Шумов: в 2т. – М.: Высшая школа, 1978. – Т.2. – 328 с.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

Составители:

Гальмак Александр Михайлович

Лапковский Валерий Кузьмич

Юрченко Ирина Викторовна

Редактор Щербакова А.А.

Технический редактор Багуцкая Т.В.

Подписано в печать 14. 04. 2011. Формат 60×84 1∕16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная.

Усл.печ.л. 1,9.    Уч.-изд. 2.

Тираж 55 экз. Заказ 64.

Отпечатано на ризографе редакционно-издательского отдела

учреждения образования

«Могилевский государственный университет продовольствия».

212027, Могилев, пр-т Шмидта, 3.

ЛИ № 02330/0131913 от 08.02.2007.