Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Рассмотрим конечную последовательность п независимых испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие А или ему противоположное  с вероятностями р и q = 1 – p соответственно. При этом будем считать, что вероятность р события А в каждом испытании одна и та же. По условию результат любого испытания не зависит от его порядкового номера и от того, какие исходы были в предыдущих испытаниях. Такую последовательность испытаний принято называть схемой испытаний Бернулли. Приняты следующие обозначения:

Р_n(m) – вероятность того, что событие А произойдёт ровно m раз в серии из n испытаний;

Р_n(m ≥ k) = Р_n(k) + Р_n(k + 1) +…+ Р_n(n) – вероятность того, что событие A произойдёт не менее k раз в серии из n испытаний;

Р_n(m ≤ k) = Р_n(0) + Р_n(1) +…+ Р_n(k) – вероятность того, что событие A произойдёт не более k раз в серии из n испытаний;

Р_n(m ≥ 1) = 1 – Р_n(0) – вероятность того, что событие A произойдёт хотя бы один раз в серии из n испытаний.

При нахождении нужной вероятности необходимо учитывать заданные значения n и p. При выборе формулы для Р_n(m) надо руководствоваться следующими правилами:

1) если задано число испытаний n и оно не больше 10, то надо пользоваться формулой Бернулли Р_n(m) = ;

2) если вероятность р наступления события А мала, а n велико и λ = np < 10, то для Р_n(m) надо воспользоваться формулой Пуассона:

Р_n(m) ≈ , Р_n(m ≤ k) ≈ ;

3) если n велико и np > 10, то надо воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа. По этой теореме

Р_n(m) ≈ φ(x), где φ(x) = ; x = .

Имеются таблицы значений функции φ(x), соответствующие положительным значениям аргумента х. Так как функция φ(x) чётная, то φ(– x) = φ(x). И для x > 4 φ(x) ≈ 0.

Если требуется найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний число наступлений события A будет не менее k₁ и не более k₂ раз, то есть Р_n(k₁; k₂) = Р_n(k₁ ≤ m ≤ k₂), то надо воспользоваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа. По этой теореме

Р_n(k₁; k₂) ≈ Φ(x₂) – Φ(x₁),

где Φ(x) = , x₁ = , x₂ = .

Функция Φ(x) называется функцией Лапласа. Она нечётная: Φ(– x) = – Φ(x). Имеются таблицы значений этой функции для соответствующих положительных значений аргумента х. И для х > 5 Ф(х) ≈ 0,5.

Рассмотрим примеры применения этих формул.

Пример 4.1.Хлопок определённого сорта имеет 60% коротких волокон. Определите вероятность того, что из 6 случайно взятых волокон будет:

а) хотя бы одно короткое волокно;

б) ровно 3 коротких волокна;

в) не более 3 коротких волокон.

Решение. Так как n = 6 < 10, то надо воспользоваться формулой Бернулли. По условию короткие волокна составляют 60%. Значит, вероятность того, что случайным образом взятое волокно будет коротким, равна p = 0,6, следовательно, q = 1 – 0,6 = 0,4.

а) Вероятность того, что хотя бы одно из 6 случайно взятых волокон будет коротким, вычисляется по формуле

Р₆(m ≥ 1) = 1 – Р₆(0) = 1 – q⁶ = 1 – 0,4⁶ = 1 – 0,004096 = 0995904 ≈ 0,996.

б) Вероятность того, что среди 6 случайно взятых волокон будет ровно 3 коротких, равна

Р₆(3) = = ·0,6³·0,6³ = 20·0,013824 = 0,27448 ≈ 0,28.

в) Вероятность того, что среди 6 случайно взятых волокон будет не более 3 коротких волокон, равна

Р₆(m ≤ 3) = Р₆(0) + Р₆(1) + Р₆(2)+ Р₆(3) = 0,4⁶ + + +

+ = 0,004096 + 0,036864 + 0,13824 + 0,27648 = 0,45568 ≈ 0,46.

Ответ: а) 0,996; б) 0,28; в) 0,46.

Пример 4.2. Коммерческая фирма рассылает по почте своим клиентам n = 500 писем с проспектами новой продукции. Вероятность того, что при пересылке письмо потеряется, равна р = 0,001. Найти вероятность того, что при пересылке по почте потеряется:

а) хотя бы одно письмо с проспектами;

б) ровно 3 письма с проспектами;

в) не более 3 писем с проспектами.

Решение. Количество посланных по почте писем n = 500 велико, а вероятность того, что при пересылке по почте письмо потеряется p = 0,001 мала и λ = np = 0,5 < 10. Следовательно, надо воспользоваться формулой Пуассона:

Р_n(m) ≈ , где λ = np = 0,5.

а) Найдём вероятность того, что при пересылке потеряется хотя бы одно письмо.

Р₅₀₀(m ≥ 1) = 1 – Р₅₀₀(0) = 1 – = 1 – = 1 – 0,60653 ≈ 0,40

(по определению 0! = 1).

б) Найдём вероятность того, что при пересылке по почте потеряется ровно 3 письма:

Р₅₀₀(3) ≈ = 0,125· · ≈0,01.

в) Найдём вероятность того, что при пересылке по почте потеряется не более 3 писем:

Р₅₀₀(m ≤ 3) = Р₅₀₀(0) + Р₅₀₀(1) + Р₅₀₀(2)+ Р₅₀₀(3) = 0,61 + + +

+ = 0,61 + 0,3 + 0,08 + 0,01 = 1.

Ответ: а) 0,40; б) 0,01; в) 1.

Пример 4.3. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 27 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, потребуют обувь 27 размера:

а) хотя бы один покупатель;

б) ровно 90 покупателей;

в) не более 90 покупателей.

Решение. Так как п = 400 велико, р = 0,2 и λ = np = 80 > 10, то для нахождения требуемых вероятностей необходимо воспользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. По условию задачи

= = = 8.

а) Найдём вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, хотя бы одному потребуется обувь 27 размера:

Р₄₀₀(m ≥ 1) = 1 – Р₄₀₀(0) = 1 – φ = 1 – ∙φ =

= 1 – ∙φ(– 10) ≈ 1 – 0 = 1.

б) Найдём вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, ровно для 90 покупателей потребуется обувь 27 размера:

Р₄₀₀(90) = ∙φ = ∙φ = ∙φ(1,25) =

= ∙0,1826 ≈ 0,0228.

в) Найдём вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, не более 90 потребуют обувь 27 размера. Здесь k₁ = 0, k₂ = 90. Тогда

P₄₀₀(0; 90) ≈ Φ(x₂) – Φ(x₁),

где x₁ = = = – 10, x₂ = = = 1,25.

По таблице значений функции Лапласа находим: Φ(x₂) = Φ(1,25) = 0,3944,

Φ(x₁) = Φ(– 10) = – Φ(10) = – 0,5. Поэтому

P₄₀₀(0; 90) ≈ 0,3944 – (– 0,5) = 0,8944.

Ответ: а) 1; б) 0,0228; в) 0,8944.