Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_п (которые принято называть гипотезами), образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁) + Р(В₂) + …+ Р(В_п) = .

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Пусть событие А произошло. Тогда вероятности гипотез В₁, В₂, …, В_п при условии, что событие А произошло, вычисляются по формулам (пересчет вероятностей гипотез):

Р_А(В_i) = , i = .

Эти формулы называются формулами Байеса или формулами вероятностей гипотез.

Пример 3.В цехе работают три станка-автомата, которые штампуют однотипные детали. Производительность станков относится как 2 : 3 : 5. Вероятность брака для первого станка равна 0,05, для второго – 0,03, для третьего – 0,02. Изготовленные детали складывают в один ящик. Найти вероятность того, что:

1) взятая наугад из ящика деталь будет бракованной;

2) наугад взятая бракованная деталь изготовлена на втором станке.

Решение.Пусть А – событие состоящее в том, что взятая наугад из ящика деталь будет бракованной. Можно сделать три предположения:

 – взятая деталь изготовлена первым станком;

 – взятая деталь изготовлена вторым станком;

 – взятая деталь изготовлена третьим станком.

Исходя из того, что производительность станков относится как 2 : 3 : 5 найдем вероятности этих событий:

.

По условию задачи

1) Вероятность события А определяем по формуле полной вероятности:

2) Искомую вероятность  определяем по формуле Байеса:

Ответ: 1) 0,029; 2) 0,31.