Дискретные случайные величины. Числовые характеристики

Величина, которая в ходе опыта может принимать одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное, называется случайной величиной (СВ). В зависимости от возможных значений все случайные величины разбиваются на два класса: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, возможные значения которой образуют или конечное множество, или бесконечное, но счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать и выписать в виде последовательности).

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое правило, по которому каждому возможному значению x_i ставится в соответствие вероятность p_i, с которой случайная величина может принять это значение. Поскольку в результате опыта случайная величина может принять одно и только одно из возможных значений, то событие, заключающееся в том, что случайная величина X примет значения x₁, x₂, …, x_n, попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. Отсюда следует, что вероятность суммы этих событий равна 1 и, следовательно, = = 1.

Для описания случайной величины часто используют её числовые характеристики. К ним относятся математическое ожиданиеM(X) (характеризует среднее значение случайной величины) и дисперсия D(X) (характеризует разброс значений случайной величины относительно её математического ожидания). Для дискретной случайной величины они вычисляются по формулам:

M(X) = x₁∙p₁ + x₂∙p₂ + … + x_n∙p_n = ;

D(X) = M(X – M(X))² = = – (M(X))².

Для задания случайной величины можно использовать также функцию распределения вероятностей (интегральную функцию распределения), равную вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем x. При известном законе распределения дискретной случайной величины X функция распределения имеет вид:

F(x) = p(X < x) = .

Здесь (x_i < x) означает, что суммирование ведётся по всем индексам i, для которых это неравенство выполняется.

Пример 5.Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

Найти:

Решение. Так как для закона распределения дискретной случайной величины должно выполняться условие = 1, то в данном случае имеем:

= 0,2 + 0,3 + 0,1 + р₄ = 1, то есть 0,6 + р₄ = 1

и, следовательно, р₄ = 0,4.

а) Найдём математическое ожидание M(X):

M(X) = = – 1∙0,2 + 0∙0,3 + 1∙0,1 + 2∙0,4 = 0,7.

б) Найдём дисперсию D(X):

D(X) = – (M(X))² = (– 1)²∙0,2 + (0)²∙0,3 + (1)²∙0,1 + (2)²∙0,4 – (0,7)² = 1,41.

Найдём функцию распределения F(x).

F(x) =  или F(x) =

Построим график функции F(x).

Рисунок 1 – График функции F(x).

Ответ: а) р₄ = 0,4; б) M(X) = 0,7; в) D(X) = 1,41.