Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики

Непрерывной называется случайная величина, которая может принять любое значение из конечного или бесконечного промежутка. Число ее возможных значений бесконечно.

Непрерывную случайную величину Х можно задать либо с помощью функции распределения вероятностей F(x) = Р(X < x) (интегральной функцией распределения), либо с помощью функцииплотности распределения вероятностей f(x) = р(x) = F ′(x) (называемой дифференциальной функцией распределения). Для случайной величины Х с функцией распределения F(x) справедливы формулы:

f(x) = F ′(x); F(x) = ; = 1;

Р(α ≤ X ≤ β) = Р(α ≤ X < β) = Р(α < X < β) = Р(α < X ≤ β) = F(β) – F(α) = ; M(X) = ;

D(X) = = – (M(X))².

Пример 6. Дана функция распределения случайной величины Х:

F(x) =

Найти:

а) коэффициент a; б) M(X); в) Р(0,5 < X ≤ 2).

Решение. Предварительно найдём вид функции плотности распределения вероятностей:

f(x) = F ′(x) =

а) Коэффициент а найдем, используя свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей: = 1.

В нашем случае = + + = = a – 0 = 1.

Итак, a = 1. Следовательно,

F(x) =   f(x) =

б) Математическое ожидание M(X) найдём по формуле:

M(X) = .

В нашем случае

M(X) = = = .

в) Для нахождения вероятности попадания случайной величины  в интервал (0,5; 2) воспользуемся формулой: Р(α < X < β) = F(β) – F(α).

В нашем случае:

Р(0,5 < X < 2) = F(2) – F(0,5) = 1 – 0,5⁵ = 1 – 0,0312 = 0,96875 ≈ 0,969.

Ответ: а) a = 1; б) M(X) = ; в) Р(0,5 < X < 2) ≈ 0,969.

Математическая статистика

Пример 7.В результате контроля поступившей на склад продукции получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

1) составить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;

4) вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочную дисперсию D_B(X));

                 Таблица 1 – Результаты контроля

Решение. 1) Изучение непрерывных случайных величин начинают с разбивки интервала изменения случайной величины на т частичных интервалов равной длины и подсчета частоты попадания значений случайной величины в каждый интервал. Обычно таких интервалов берётся  (Эта формула рекомендуется при проверке гипотезы о виде закона распределения изучаемой случайной величины. Вообще говоря, строгих правил для выбора числа интервалов группирования не существует. Практический же опыт первичного анализа статистических данных показывает, что удовлетворительным является число интервалов от 5 до 15).

В нашем случае х_min = 182, х_max = 236, m ≈ 1 + 3,2∙lgn ≈ 8,

h = = = 6,75 ≈ 6,8.

Длину интервала удобно брать так, чтобы последняя цифра была четной. Тогда и середина интервала  будет иметь последнюю цифру того же десятичного разряда, что и концы интервала. Начало первого интервала принимаем равным х_min = 182. Тогда первый интервал будет [182; 188,8], второй – (188,8; 195,6] и т.д.

Тогда шкалу интервалов и группировку статистических данных представим в виде таблицы 2.

Таблица 2 – Группировка статистических данных

Интервалы	[182; 188,8]	(188,8;195,6]	(195,6;202,4]	(202,4; 209,2]	(209,2; 216]	(216; 222,8]	(222,8;229,6]	(229,6; 236,4]
Подсчёт частот
Частота	8	12	13	18	18	11	11	9
Относительная частота	0,08	0,12	0,13	0,18	0,18	0,11	0,11	0,09
Накопленная относит. частота	0,08	0,2	0,33	0,51	0,69	0,8	0,91	1,0

(При подсчете частот используем обозначения

1 – “ “; 2 – “ “; 3 – “  “; 4 – “ “; 5 – “  “; 6 – “  “; 7 – “ “;

8 – “  “; 9 – “ “; 10– “ “).

Таким образом, мы составили интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных.

2) Построим гистограмму и полигон относительных частот. На оси Ох откладываем частичные интервалы длины h = 6,8, а на каждом интервале, как на основании, строим прямоугольник с высотой, пропорциональной относительной частоте интервала (с высотой, равной ). Соединяя середины верхних оснований отрезками прямых линий, получим полигон относительных частот.

Рисунок 2 – Гистограмма и полигон относительных частот

3) Эмпирическую функцию распределения получим с помощью накопленных относительных частот:

F*(x) =

Построим график функции F*(x).

Рисунок 3 – График функции F*(x)

4) Найдем числовые характеристики выборки.

Выборочную среднюю найдем по формуле ; здесь y_i – середина i-го интервала, m_i– частота i-го интервала, m– количество интервалов.

Выборочную дисперсию найдем по формуле

или

.

(Так как объём выборки n = 100 велик, то выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия практически совпадают). Для упрощения вычислений используем таблицу 3.

Таблица 3 – Данные для расчета числовых характеристик

Интервалы	Середина интервала	Частота
[182; 188,8]	185,4	8	1483,2	– 23,66	4478,36
(188,8; 195,6]	192,2	12	2306,4	– 16,86	3411,12
(195,6; 202,4]	199,0	13	2587	– 10,06	1315,65
(202,4; 209,2]	205,8	18	3704,4	– 3,26	191,30
(209,2; 216]	212,6	18	3826,8	3,54	225,57
(216; 222,8]	219,4	11	2413,4	10,34	1176,07
(222,8; 229,6]	226,2	11	2488,2	17,14	3231,58
(229,6; 236,4]	233,0	9	2097	23,94	5158,11
Сумма		100	20906,4		19187,76

Таким образом, имеем:

209,06; 193,82.