Интегрирование тригонометрических функций.

Задача 39. Вычислить интеграл .  

Решение. Функция не обладает свойствами чётности или нечётности, то есть, сменив знак синуса или косинуса, мы не получим, что знак минус будет у всей дроби. Поэтому применяем универсальную тригонометрическую подстановку: . Напомним, что при этом

, , , . 

Итак, сделаем замену:

=  =  =

 =  = .

Теперь сделаем обратную замену. , что ещё можно привести к виду .

Ответ. .  

Примеры на другие подстановки.

Задача 40. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь нечётная степень синуса, применяем замену . Тогда  =  =  =

 =  =  = .

Ответ.  .

Замечание. Универсальная подстановка здесь приводит к огромным вычислениям. Попробуем применить её:

 =  = .

Если раскрыть скобки в числителе, и разбить на сумму множества дробей, то в знаменателе каждой из них будет , то есть каждое слагаемое надо будет вычислять по рекуррентной формуле в 12 шагов.

Задача 41.  Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену .

 =  =  вот и свелось к рациональной дроби, и дальше для t можем действовать в рамках прошлой темы «рациональные дроби».

 =  =  = . Приводим к общему знаменателю:

 = , далее ,

, отсюда следует .

 =  =

это можно после обратной замены и применения свойств логарифмов, записать так: .

Ответ. .

Задача 42. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь тоже суммарная степень чётная, замена .

.  , . 

 =  =  =

 =  =

здесь мы воспользовались формулой .

 = .

После обратной замены получаем ответ:

Ответ. .

Задача 43. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь суммарная степень чётная, то есть, если сменить знак перед sin и cos, то знак сменится 2 раза, и останется «+». Поэтому надо применить замену . Тогда (см. в лекции):

.  , . 

 =  =  =  =  =  = .

После обратной замены получается: .

Ответ. .

Проверка.

Задача Д-15. Вычислить интеграл .

Решение. Функция нечётная относительно косинуса, замена .

Тогда , , .

Однако в этом примере квадратные корни не сокращаются, а наоборот, умножаются, ведь косинус теперь не в числителе, а в знаменателе: .

Но всё равно, будет чётная степень корня: .

Итак, , что равно  = .

Теперь мы можем воспользоваться тем разложением, которое получали для такого случая в теме «рациональные дроби» на прошлой практике, см. задачу 33, где оба корня знаменателя кратные.

Курс специально построен так, чтобы использовать некоторые коэффициенты из старых примеров и не искать их здесь повторно.

Разложение было такое: .

После приведения к общему знаменателю и решения системы уравнений, там получалось , , , .

Итак,  =  =

 =  =

 = .

Сделаем обратную замену. .

Ответ. .

Далее:

Взаимосвязь иррациональностей и тригонометрических функций. Примеры с интегралами, содержащими , решаемые с помощью тригонометрических функций.