Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Интегрирование рациональных дробей
Ситуация 1. Если все корни знаменателя различны. Задача 28. Вычислить интеграл . Решение. Разложение на простейшие дроби: . Приведём к общему знаменателю: . Приравняем к исходной дроби. Знаменатели у них и так равны, осталось приравнять числители: из этого следует: . Так как в исходном числителе была только константа 1, то искусственно приписали , для того, чтобы присутствовали все степени, коэффициенты при которых надо сравнить. Получается система уравнений: Решаем систему, складывая уравнения между собой, получится , т.е. , тогда . Теперь интеграл можно разбить на два интеграла от таких слагаемых: . Ответ. , либо в такой форме: . Задача 29. Вычислить интеграл . Решение. = . , тогда система уравнений для неопределённых коэффициентов: . Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получим: , т.е. , тогда . Итак, = = . Ответ. .
Задача 30. Вычислить интеграл Решение.В данном случае знаменатель уже разложен в произведение множителей первой степени. Теперь представим дробь в виде суммы: . После приведения к общему знаменателю: = . Тогда . Перегруппируем слагаемые, так, чтобы вынести отдельно вторые степени, первые степени и константы. . Отсюда строим систему уравнений: чтобы её решить, построим расширенную матрицу системы и применим метод Гаусса.
Сначала ко 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 5, затем от 3-й отняли 1-ю, умноженную на 6. Так мы обнулили всё ниже углового элемента . А теперь к 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на 3: . Уже получилась треугольная основная матрица. Ей соответствует такая система: , т.е. , тогда , а тогда . Теперь интеграл сводится к такому виду: , Ответ. . Задача 31. Вычислить интеграл . Решение.Во-первых, найдём корни знаменателя и разложим его на множители: . Далее, , . В числителе уже и так был многочлен, а не просто число 1, поэтому не придётся добавлять , ведь все коэффициенты, к которым надо приравнять, в наличии есть. Приравняем числители:
. Тогда система принимает вид: , отсюда , тогда с учётом этого система примет вид: , тогда , т.е. , . . Ответ. .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 158. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |