Рациональные дроби. Случай 3. Если есть комплексные корни.  

Задача 35 (Э). Вычислить интеграл .  

Решение. Запишем разложение на простейшие дроби: .

Это равно . 

Тогда .

, итого , , .

Тогда .

Во втором слагаемом, можно подвести под знак дифференциала:

 =  = .

Ответ. .

Задача Д-13. Вычислить интеграл с помощью рекуррентной формулы .

Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 было бы неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n).

При этом n = 1. a = 1.

Формула приобретает такой вид: .

Ответ. = .

Задача Д-14. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу суммы кубов

 = .

Знаменатель дальше разложить невозможно, ведь во второй скобке отрицательный дискриминант. Теперь извлечём дробь и разложим на простейшие.

 = . Тогда

 (приравняли числители этой дроби и той исходной, что была в интеграле).

Тогда .

Система уравнений:

, решая её методом Гаусса, получаем:

на последнем этапе, от 3 строки отняли 2-ю. Получили систему:

, здесь , , .

Тогда надо рассматривать такую сумму интегралов:

 =  =

 =

 =

Разбили дробь так, чтобы в одной части подвести под знак дифференциала, а во второй в числителе 1, там можно выделить полный квадрат и свести к арктангенсу.

Модуль во втором логарифме не нужен, так как там у выражения отрицательный дискриминант, т.е. нет корней, оно положительно.

 =

.  

Ответ.

 Интегрирование иррациональностей. 

Задача 36.Вычислить интеграл .   

Решение. Здесь есть корни порядка 2 и 3. Наименьшее общее кратное, НОК(2,3) = 6. Поэтому замена . При этом,

, , ,

,

.

Тогда  =  =  =

 = .

Сделаем обратную замену и получим:

Ответ.   .

Задача 37. Вычислить интеграл .  

Решение. Здесь также корни порядка 2 и 3, НОК(2,3) = 6.

Замена . При этом, , , , .

 =  =  =  =

 =   =

.

Во втором интеграле надо разложить на простейшие дроби.

.

, откуда получаем

, то есть , .

Тогда  =  =

. После обратной замены:

Ответ. .

Задача 38. Вычислить интеграл .   

Решение. Сначала сделаем замену . При этом , значит, . Тогда  = .

Но внешний корень ещё не устранили, поэтому сделаем 2-ю замену: . Тогда , , , соответственно:

 =  = .

После второй замены, уже получили интеграл от степенных функций!

 = .

Сделаем обратную замену:

 = , и после обратной замены:  

Ответ. .