Подведение под знак дифференциала.

Задача 10. Вычислить .

Решение. Замечаем, что присутствует множитель , который является производной от . А остальная часть функции как раз зависит только от . Поэтому можно подвести  под знак дифференциала:  =   

Применяем замену :  = .

Далее,  = , и после обратной замены .

Ответ. .

Задача 11.Вычислить интеграл .

Решение.  =  =  =  =  =

=  = . Учитывая тот факт, что , знак модуля не нужен.

Ответ. .

Задача 12. Вычислить . 

Решение.  =  =  =  =  = . 

Ответ. . 

Для сведения, покажем, как выглядит график функции .

Зелёным цветом изображён график , синим .

Вертикальные асимптоты .

Задача 13. Вычислить интеграл .  

Решение.  =  =  =  =

.    

Ответ. .

Д-1.Вычислить интеграл . Ответ. .

Д-2. Вычислить интеграл . Ответ. .

Д-3.Вычислить интеграл . Ответ. .

Д-4. Вычислить интеграл . Ответ. .

Задача 14. Вычислить .

Решение.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

Задача 15 (Э). Вычислить .

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .

 =  =  =  

и теперь, после замены , получится .

Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:

 =  =  =

 =  

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

 = .

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

Ответ. .

Задача 16. Вычислить .

Решение.  =  =

=  =  =  =

 =  = .

Ответ. .

Задача 17. Вычислить .

Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на , но, тем не менее, в числителе есть переменная , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1-я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

 =  =  

после замены переменной, это можно переписать так:   

а значит,  и после обратной замены: 

Ответ. .

Задача 18 (Э). Вычислить .

Решение.  =  =  =  = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто  а :

 =  = .

Теперь интеграл имеет вид , и равен .

После обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

Д-5. Вычислить .

Решение.  =  =  =  =  = .    Ответ. .

Д-6. Вычислить .

Решение.   =  =  =

=  =  = .

Ответ. .

Д-7.Вычислить   Ответ. .

Указание. См. задачу 14.

Д-8.  Вычислить  при . Ответ. . Указание. См. задачу 18.

Задача 19. Вычислить . 

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда  =  =  =  = .

Здесь фактически мы применили замену  для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .

Ответ. .

Задача 20. Вычислить .   

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :

 =   

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :

 =  =

= .

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

 =

.

Ответ. .

Задача 21.  Вычислить интеграл .

Решение.  =  =

В отличие от прошлой задачи, здесь не надо прибавлять и вычитать, так как полный дифференциал знаменателя это , в знаменателе нет 1-й степени, а его производная поэтому не содержит константу.

Далее,  = , и в итоге:

Ответ. .

«Интегрирование по частям»

0. Вспомнить формулу .

Задача 22. Вычислить .

Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу: 

Тогда  = = .

Ответ. .

Задача 23. Вычислить интеграл .

Решение. 

 =  = .

Задача 24 (Э). Вычислить интеграл . 

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .

Тогда  = .

На 2-м шаге, обозначим , .

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

 =  = .

Итак, ответ: .

Задача 25 (Э). Вычислить интеграл  

Решение. Пусть , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, .

Построим таблицу:

Тогда  =  =

 = =

=  . 

Ответ: .

Задача 26 (Э). Вычислить интеграл  

Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы  используем, обозначая её  при интегрировании по частям:

Тогда:  = .

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

 =  =

 =  =

. Знак модуля даже не нужен, т.к. .

Замечание. Если при переходе от  к  записать не одну первообразную, а множество всех первообразных, т.е. , то это не повлияет на ответ, потому что дополнительное слагаемое всё равно сокращается в итоге: 

 =

= .

Задача 27 (Э). Вычислить интеграл

Решение.    Пусть .

. На первом шаге, обозначаем , .

. = .

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .

Получается  =  = .

Из равенства  можно выразить :

, .

Примечание. Интегралы вида  и   называются «циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Ответ.  = .

Д-9. Вычислить . Указание. См. задачу 27.

Решение.  На первом шаге,

 = . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

Продолжим преобразования:    

 =

.

После двух действий, мы видим снова интеграл  в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

. А теперь можно просто выразить это  арифметическим путём.

.

Ответ.  = .

Д-10. Вычислить . Указание. См. задачу 27.

Ответ.