Элементарные преобразования подынтегрального выражения.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Курс практических занятий

Семестр 2

Учебное пособие

Для специальностей

Прикладная информатика в экономике»

Информатика и вычислительная техника»

Томск

ТУСУР

2018

       Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 447-1,2 и 437-1,2,3 весной 2018 года. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.

       Для удобства в пособии применяется сквозная нумерация задач. Материал за ту или иную дату можно определить по таблице для каждой группы отдельно. Задачи, которые были решены в классе со всеми 5-ю группами, нумеруются в общем списке, а задачи, которые в каких-либо группах успели решить в классе, а в каких-либо даны в качестве домашней работы, нумеруются Д1, Д2, ... Некоторые из них здесь тоже набраны с решениями, некоторые нет.

       Задачи, в которых есть комбинации различных тем или методов, и по объёмы не подходят для контрольных работ, могут попасть в билеты на экзамене, они помечены символом (Э).

Оглавление по темам

Таблица соответствия занятий и номеров задач

Неопределённый интеграл.

Элементарные преобразования подынтегрального выражения.

Задача 1. Вычислить .

Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.

 =  =  = . 

Ответ. .

Задача 2. Вычислить .

Решение. Замечая, что , преобразуем так:

 =  =  = .

Ответ. .

Задача 3.Вычислить . 

Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида , то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак,  = . Теперь интеграл имеет вид  и конечно, равен . Фактически применили замену . Сделав обратную замену, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 4. Вычислить .  

Решение.Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

 =  =  =  =

 =  и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 5. Вычислить .

Решение.В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

 =  =  .

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда  =  =  что тоже приводит к .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:   

Ответ. .

Задача 6. Вычислить .

Решение.Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

 =  = .

С помощью замены  сводится к интегралу: 

 = , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

 Ответ. .

Задача 7. Вычислить .

Решение.В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим  = .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается  =  = .

Ответ. .