Рациональные дроби. Случай 2. Если есть кратные корни.  

Задача 32. Вычислить интеграл . 

Решение. Как видим, здесь корень 1 имеет кратность 2. Разложение на простейшие дроби нельзя проводить так, как будто бы здесь три независимых множителя , , , т.е. , иначе получится противоречие, ведь общий знаменатель будет содержать всего лишь 1-ю степень  но никак не вторую. Надо степени знаменателя учитывать по возрастающей, до кратности корня, а именно, так: .

Приведём к общему знаменателю:

.

Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле:

.

, система:

. Построим расширенную матрицу и решим систему уравнений:

.

Система приведена к виду:

Тогда , , . И теперь интеграл распадается на сумму трёх интегралов: .

В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе.

Полезно вспомнить, что .

То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак.

Ответ. .

Задача 33 (Э). Вычислить интеграл  .

Решение. Сначала запишем знаменатель подробнее, с учётом корней:  = .

Это тот случай, когда оба корня кратные, кратности 2.

Разложение на простейшие дроби будет иметь такой вид:

.

После приведения к общему знаменателю, в числителе будет такое выражение:

=

здесь при А и С можно один множитель отделить от 2-й степени, с тем чтобы образовать выражение типа  тогда привести подобные легче.

=

= .

перегруппируем слагаемые, чтобы вынести каждую степень отдельно:

.

Этот многочлен равен , таким образом, получается система уравнений:

Построим расширенную матрицу и применим метод Гаусса:

Сначала обнулим всё ниже чем , затем ниже .

Ниже   можно уже и не обнулять, ведь идея метода Гаусса состоит в том, чтобы количество неизвестных снижалось, вплоть до одной в последнем уравнении, а здесь уже так и есть, в последнем уравнении всего один элемент. Сначала выразим , затем через неё  и так далее. Система может быть представлена в виде:

  , , , .

Тогда в интеграле функция распадается на сумму 4 слагаемых:

из всех вынесли общий коэффициент , и перед третьим слагаемым поставили знак минус. Получается:

 =

 = .

Ответ. .

Задача 34 (Э). Вычислить интеграл .

Решение.  =  = .

Здесь корень 0 имеет кратность 2, остальные корни простые.

 = .

После приведения к общему знаменателю, числитель будет такой:

.

После приведения подобных:

, это надо приравнять к

. Получится систему с 4 неизвестными:

Поскольку A,B определяются сразу же, , ,

то матрицу 4 порядка для метода Гаусса строить не надо, а останется только маленькая система на C,D.

тогда , .

, то есть, как видим, некоторые слагаемые в некоторых примерах могут и пропадать, однако те, где степень самая высокая, равная кратности - не могут, так, здесь не могло бы быть , иначе возникло бы противоречие при приведении к общему знаменателю.

 = .

Ответ.

Задача Д-11. Вычислить .

Решение. В данном примере D>0, в отличие от предыдущих. Нужно сначала разбить дробь на сумму простейших:

и после этого, будет сумма двух таких интегралов, каждый из которых сводится к логарифму. Чтобы найти А и В, приведём к общему знаменателю: 

 = .

Теперь приравняем числители, ведь дроби равны, знаменатели одинаковы, значит и числители тоже:

.

Отсюда получается система уравнений, из которой можно найти неопределённые коэффициенты А и В:

Решая эту систему, получаем , . Тогда интеграл распадается на простейшие:

 =  = .

Ответ. .

Задача Д-12. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала разложим знаменатель на множители:

 = .

 =  = .

, тогда

, отсюда , .

 =  =  = .

Ответ. .