Теория случайных процессов. Статистическое моделирование. Адаптивная модель ИВП.

Случайный процесс X(t)называется процессом дискретным во времени, если система в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t1, t2,…,tn,число которых конечно или счетно.
Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем,если переход их состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина.
Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями,если значением случайного процесса является дискретная величина.

В научных центрах ГА разработаны аналитические модели для исследования потоков самолётов и структуры ВП РА и РЦ. Входной поток ВС в зоне УВД- нестационарный поток вероятностных событий с многомерными случайными метками, объединяющими эти события в типы(классы): точки и эшелоны входа ВС в зону УВД; типы ВС; точки и эшелоны выхода ВС из зоны УВД. Суточный поток ВС в целом- нестационарный пуассоновский поток, который затем с определёнными статистическими вероятностями( частотами) просеивается на частные входящие потоки по отдельным точкам и эшелонам входа в зону. При этом распределение вероятностей просеивания соответствует известным частотам появления ВС в зоне в данной точке входа или на данном эшелоне входа в те или иные периоды суток. Тогда частные входящие потоки на отдельных эшелонах в каждой точке входа оказываются также нестационарными пуассоновскими потоками. Нестационарность потока имеет циклический характер спериодам цикла, равным суткам.

Для задания закона распределения интервалов между моментами поступления каждого ВС в зону УВД в качестве исходного принято гаммараспределение.

Исходным пунктом анализа суммарного нестационарного пуассоновского потока, имеющего интенсивность, становится его декомпозиция на частные потоки однотипных событий.

Результатом исследований явились формулы для оценки вероятностей конфликтных ситуаций и математического ожидания загрузки элементов ВП. Варьируемыми значениями послужили параметры цикличности, интенсивности и неоднородности потоков событий.

Обобщение подобных попыток привело к созданию математической модели пропускной способности секторов и зон УВД.

Реальные потоки ВС в ВП сектора, как правило, не удовлетворяют требованиям стационарности и однородности. Интенсивность потока- периодическая функция с периодом 24 часа.

Неоднородность потока, вызванная наличием в нём ВС разных типов, компенсируется тем, что их движение происходит, как правило, на разных эшелонах.

Каждый частный поток событий в модели-эрланговский и характеризуется тем, что интервалы времени между их наступлением независимы и имеют плотность распределения вероятности.

Потоки Эрланга широко используются для анализа систем трафика благодаря исчерпывающим исследованиям специалистов разных областей. Их результатами стали формулы для оценки вероятностей любого состояния системы, в том числе двух крайних- вероятностей простоя и отказа по перегрузке. Однако в применении к задаче планирования ИВП, они встречают непреодолимое препятствие- теория не даёт целенаправленной процедуры, которая приводит к оптимуму частотными характеристиками, интенсивностями и вероятностями, и не выделяет конкретные ВС. Это значит, что мы не можем следить за соблюдением безопасных интервалов движения, а можем только сказать, какова вероятность их нарушений при заданных параметрах потоков.

Теория случайных процессов допускает лишь косвенную оптимизацию методом проб и ошибок. Задаётся структура пространства и сценарии воздушного движения и оцениваются средние величины загрузки, задержек, отказов в обслуживании. Затем исследуются другие исходные данные, новые варианты структуры, и результаты сопоставляются, находится удовлетворительная нарезка ВП.

Статистическое моделирование

Статистическое моделирование — базовый метод моделирования, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности. Целью является статистическое определение выходных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло. Напомним, что имитацию используют тогда, когда другие методы применить невозможно.

Это метод прикладной и вычислительной математики, состоящий в реализации на ЭВМ специально разрабатываемых стохастических  моделей изучаемых явлений или объектов. Расширение области применения статистического моделирования связано с быстрым развитием техники и особенно многопроцессорных вычислительных систем, которые позволяют одновременно моделировать много независимых статистических экспериментов. С другой стороны, классические вычислительные методы во многих случаях неудовлетворительны для исследования все усложняющихся математических моделей исследуемых явлений. Это также повышает роль статистического моделирования, эффективность которого слабо зависит от размерности и геометрических деталей задачи. К положительным свойствам этого метода следует отнести также простоту и естественность алгоритмов и возможность построения модификаций с учетом информации о решении
Задачи, которые решаются методом Статистического моделирования, можно условно разделить на два класса. К первому можно отнести задачи со стохастической природой, когда используется прямое моделирование естественной вероятностной модели. Ко второму классу относятся детерминированные задачи; здесь искусственно строится вероятностный процесс, с помощью которого дается формальное решение задачи. Затем этот процесс моделируется на ЭВМ и строится численное решение в виде статистических оценок. Имеется и промежуточный (между двумя приведенными) класс задач. Эти задачи, которые описываются детерминистическими уравнениями, но в которых случайны либо коэффициенты, либо граничные условия, или правая часть. Здесь особенно эффективной оказывается иногда двойная рандомизация.

Привлекательность метода состоит в возможности получать вероятностные оценки эффективности процесса, состоящего из потоков событий, подчинённых любому распределению вероятностей. Начало исследованиям с его помощью в области ИВП положил переход к процедурам УВД в РА по стандартным траекториям вылета и захода ВС на посадку. Задача оптимального планирования сводилась к минимизации универсального показателя эффективности- взвешенное суммарное время нахождения ВС в воздухе.

Одновременно с расчётами траекторий осуществляется анализ на поддержание бесконфликтных интервалов при заходе на посадку.

В модели реализовано отображение информации в виде списка на экране. Момент появления очередной строки в списке задаётся следующими параметрами:

o интервал времени(относительно расчётного времени посадки), за который диспетчеру отображается строка с рекомендуемой по заходу на посадку;

o времена полёта в зависимости от типа ВС;

o интервал между временами посадки двух следующих подряд ВС;

o приоритеты обслуживания.

Модель использовалась как средство оценки деятельности диспетчера УВД и оценки различных структур ВП РФ. Расширение сферы её действия на исследование эффективности ИВП в секторах РЦ основано на использовании неоднородного входного потока ВС и многоканальной СМО. Общий поток ВД представлен композицией частных составляющих, обособленных по высоте полёта. Селектор потока направляет заявку в один из имеющихся каналов( эшелонов ВП). При этом рассчитывается задержка, необходимая для соблюдения норм горизонтального эшелонирования в каждой точке входа в сектор.

Результаты представляются в виде моделируемых состояний АС УВД, математического ожидания и среднеквадратического отклонения значений основных характеристик обслуживания ВС.

Имитационные модели по существу лишь расширяют возможности теории случайных процессов, позволяя исследовать любые типы потоков, даже не имеющих аналитического описания. Однако они наследуют отсутствие целенаправленного поиска решения. Другая причина недостаточности классических оптимизационных и стохастических моделей в том, что известные схемы оперируют средними величинами( частотами и затратами), что не позволяет обнаруживать и предотвращать ситуации опасного сближения конкретных объектов, предоставляя лишь вероятностные характеристики конфликтов.

Адаптационная модель ИВП

Специфика задачи требует отказа от классических моделей оптимизации. Одна из его причин: чрезмерная чувствительность результата к неизбежным флуктуациям показателей исходного плана. Некоторые шаги на пути преодоления этих затруднений предприняты теорией стохастического программирования. Рекомендуется отыскать не явно выраженный глобальный, а наиболее устойчивый на всей области существования оптимизируемого функционала локальный экстремум

 Незначительные флуктуации переменной Х в областях глобальных экстремумов(Х=1, Х=2,5) резко уводят процесс от точки оптимума, в то время как в области локального экстремума( 4≤Х≤8) допустимы существенные колебания величины аргумента.

Задача планирования преобразуется в адаптацию модели к случайным изменениям потоков ВД и среды, основанную на принципе обратной связи. Каждое обновление данных о среде или о планируемых рейсах учитывается в информационном обеспечении. При нарушении ограничений вырабатываются рекомендации по перераспределению потоков движения. Если нарушений нет, то считается, что процесс не выходит из области локального экстремума вследствие использования предпочтительных маршрутов, зарегистрированных ГА.

Адаптационный подход позволяет качественно решать проблему оптимизации ИВП на всех этапах планирования и управления полётами. Однако его применение ограничивается организационными трудностями. В масштабах РФ затруднительно осуществить оперативный сбор плановых, метеорологических и системных сообщений в едином центре. В этих условиях нельзя требовать от систем УВД и пилотов неукоснительного выполнения текущего плана. Можно лишь стремиться к этой цели.