Динамическая модель межотраслевых связей (траектория равновесного роста)

До сих пор рассматриваемые нами модели описывали экономическую деятельность лишь в течение одного производственного периода.

    Рассмотрим один из вариантов динамической межотраслевой модели, а именно, модель экономического роста, в которой проблема оптимизации в явном виде не ставится. В этой модели отражается взаимосвязь капитальных вложений текущего периода и прироста выпуска продукции в последующем периоде, причём предполагается, что темпы прироста производства всех благ одинаковы и неизменны и равны q.

    Межотраслевую модель (2.7) можно записать в виде

                                     X(t) = A X(t) + Y(t) ,                                              (2.25)

где t – момент времени.

    Вектор Y конечного спроса состоит из двух компонентов – вектора потребления С и вектора инвестиций DФ, т.е.

                                      Y(t) = C(t) + DФ(t)                                                 (2.26)

Если доход в момент времени t обозначить как I(t), то функция потребления отдельных видов товаров может быть записана

C_i(t) = h_j I(t) ,   (j = ).

Доход I(t) можно представить в виде функции

I(t) = V₁X₁(t) + V₂X₂(t) +….+ V_nX_n(t) ,

где V_j – доля добавленной стоимости для товара j.

    Введя матричные обозначения получим:

                                      C(t) = h V X(t).                                                     (2.27)

    Далее, введём понятие капиталоёмкости, т.е. величину капитала вида i, необходимую для производства товара j – коэффициенты k_ij, образующие матрицу k = {k_ij} n x n. Допустим, что между выпуском продукции и величиной необходимого для этого капитала существует пропорциональная зависимость. Если прирост производства продукции обозначить как

DX(t) = X(t + 1) – X(t),

то инвестиционный спрос на товар j за период времени t запишется как

 I(t) = K DX(t).                                                      (2.28)

Из уравнений (2.25) – (2.28) можно вывести основное уравнение динамической межотраслевой модели:

                       X(t) = A X(t) + h V X(t) + K DX(t);                               (2.29)

                       X(t) = (A + h V) X(t) + K DX(t).

Если обозначить A = A + hV и учесть, что в модели предполагается равновесный рост производства с постоянным темпом прироста q , т.е.

DX(t) = q X(t) ,

то уравнение (2.29) можно переписать:

X(t) = AX(t) + K q X(t);

X(t) = (A + K q ) X(t) .

Откуда имеем (опустив для краткости t):

X = A’ X’ + K q X или ( E – A’) X = q K X.

Окончательно получим: (E – A’)^-1 K X = 1/q X.

    Получили, что Х является характеристическим вектором матрицы         (E – A)^-1 K, соответствующим собственному числу 1/q. Доказано, что, если       (E – A)^-1 > 0 и в каждой строке матрицы К есть хотя бы один положительный элемент, характеристический вектор Х*, соответствующий максимальному положительному корню l* матрицы (E – A)^-1, K определяется однозначно. Следовательно, обладающая экономическим смыслом траектория равновесного роста (траектория Фон Неймана – магистраль) представляет собой вектор { X* : ³ 0}, а темп прироста q* в этой модели определяется как величина, обратная l*. Так определяется направление максимального темпа прироста выпусков.