Исследование и решение системы уравнений модели   межотраслевого баланса

    Таблица МОБ позволяет изучать структуру потоков ресурсов, однако для понимания функционирования экономики, в частности эффекта распространения (мультипликации), необходимо сделать ещё один шаг, заключающийся в построении коэффициентов прямых затрат и коэффициентов полных затрат. Будем, следуя автору модели, американскому учёному русского происхождения В. Леонтьеву, считать, что объёмы промежуточного производственного потребления прямо пропорциональны объёмам производства продукции потребляющих отраслей:

                                          x_ij = a_ij   x_j (i,j = ) ,                                      (2.4)

где коэффициентами пропорциональности a_ij являются коэффициенты прямых материальных затрат, определяемые из соотношений:

                                       a_ij = x_ij / x_j (i,j = ).                                       (2.5)

    Из (2.5) следует и смысл этих коэффициентов; они показывают объём материальных ресурсов i-го вида, необходимый для производства единицы валового продукта j-го вида. После подстановки (2.4) в (2.1) получаем

                  .                                       (2.6)

Это и есть система уравнений модели В. Леонтьева “затраты – выпуск”, называемая статической моделью МОБ. Статической она является потому, что отражает производство и основные потоки продукции между отраслями за фиксированный промежуток времени (обычно за год), в течение которого все параметры модели остаются постоянными.

Получив систему уравнений (2.6), мы вплотную подошли к центральному вопросу межотраслевого анализа: как изменится объём валового выпуска i-й отрасли (x_i), если при фиксированных коэффициентах прямых затрат a_ij значение y_i изменится на величину Dy_i. Отметим, что соотношение (2.4) предполагает существование производственной функции с неизменным эффектом масштаба (затраты прямо пропорциональны выпуску) и с отсутствием взаимозаменяемости ресурсов (соотношение затрат ресурсов фиксировано и не зависит от уровня выпуска). Кроме того, здесь учитываются только затраты промежуточных продуктов, затраты факторов производства опущены. Для ответа на поставленный вопрос необходимо найти решение x_i     (i = ) системы линейных уравнений (2.6) при фиксированных значениях спроса на конечную продукцию y_i (i = ).

Запишем систему уравнений (2.6) в матричной форме:

                                    X = AX + Y ,                                                   (2.7)

(2.7) является леонтьевской моделью МОБ. Решим это уравнение относительно Х, определив валовой выпуск отраслей, обеспечивающий заданный уровень спроса Y на конечную продукцию отраслей:

          X – AX = Y, (E – A) X = Y, X = (E – A)^-1 Y.                  (2.8)

Последняя формула, как известно, может быть записана, если существует обратная матрица к матрице (Е – А).

Рассмотрим кратко вопрос о существовании и свойствах матрицы            В = (Е – А)^-1. Матрица А коэффициентов прямых материальных затрат в случае стоимостного межотраслевого баланса относится к хорошо изученному в математике классу матриц. В силу экономического смысла все диагональные элементы матрицы А должны быть меньше единицы (a_ii < 1, ), в противном случае производство лишается всякого смысла (если a_ii>1, то x_ii >x_i). Кроме того, a_ij £ 1 для всех отраслей и , что естественно для продуктивной экономики, иначе отрасль будет настолько убыточной, что её убытки перекроют расходы на амортизацию и оплату труда.

      Доказано, что перечисленные выше условия для элементов матрицы А являются необходимыми и достаточными, чтобы матрица А и соответствующая ей экономика были продуктивными, т.е. чтобы существовали неотрицательные векторы X ³ 0  и Y ³ 0, такие, что                        

X – AX = Y.

    Из продуктивности матрицы А следует, что существует обратная матрица (Е – А)^-1 и все её элементы неотрицательны, а также имеет место разложение:

                                (Е – А)^-1 = Е + А + А²+…..+ А^m +….,                         (2.9)

причём A^m ® 0, при n ®¥. Стремление матрицы A^m к нулевой настолько быстрое, что уже первых несколько членов этого разложения достаточно для вычисления обратной матрицы с большой точностью. Заметим, что формула (2.9) часто используется для вычисления обратной матрицы большой размерности.

Матрица                         

                                   В = (Е – А) ^–1                                                  (2.10)

называется обратной матрицей Леонтьева, или матричным мультипликатором, или мультипликатором Леонтьева. Выясним её экономический смысл, для чего (2.8) распишем подробнее (с учётом обозначения (2.10))

                                   X = B Y или                                 (2.11)

откуда  или . Отсюда имеем, что b_ij показывает потребность в дополнительном валовом выпуске продукции i-й отрасли для производства дополнительной единицы конечной продукции j-й отрасли. Таким образом, b_ij в сущности есть мультипликатор, показывающий эффект распространения спроса на валовую продукцию, первоначальным источником которого является спрос на конечную продукцию.

    Подставим (2.9) в (2.11) и получим:

             X = (E – A)^-1 Y = (E + A + A² + …+ A^m + …) Y,

откуда X = Y + AY + A²Y +…+ A^mY + …  .

Итак, валовой выпуск, обеспечивающий производство конечного спроса в объёме Y, состоит из самого конечного спроса Y плюс величины AY, являющейся результатом первичного эффекта распространения, плюс A²Y – вторичного и т.д.

    Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. С учётом линейности соотношений (2.11) эффект распространения DX, вызванный изменением конечного спроса на величину DY рассчитывается как  

DX = B DY.

Кроме того, говорят, что решение системы уравнений МОБ позволяет определить равновесный выпуск, имея в виду под общим равновесием такое соотношение экономической системы, которое характеризуется равновесием спроса и предложения всех ресурсов.

    Как мы видели, равновесный выпуск определяется из системы уравнений распределения продукции (2.1). Система уравнений производства продукции является основой для получения равновесных цен. Равновесные цены позволяют исследовать ценовой аспект эффекта распространения и построить ценовую модель МОБ.

    Обозначим v_j = z_j / x_j – величину добавленной стоимости, приходящейся на единицу валовой продукции отрасли и называемой долей добавленной стоимости. Тогда, учитывая, что z_j = v_j x_j , (2.2) перепишем в виде:

или                                                         (2.12)

    Это выражение описывает формирование цен каждого вида продукции в базовом периоде, если их принять за единицу. Слагаемое  показывает возмещение стоимости, а v_j – вновь созданную стоимость (с учётом амортизации). Система равенств (2.12) представляет собой модель балансовых цен, на основе которой можно выяснить, как через посредство структуры потребляемых каждой отраслью ресурсов изменяется структура цен при варьировании величины добавленной стоимости.

    Если для расчётного периода доля добавленной стоимости будет равна v_j, то цены P(j = ) будут определяться по (2.12) из соотношений

                          .                                   (2.13)

    В матричном виде эту систему можно переписать как

                                                    Р = А^т Р + V ,                                          (2.14)

где      

Матрица А^т – транспонированная матрица А.

    Решим (2.14) относительно Р. Получим

P – A^T P = V ; (E –A^T) P = V ; P = (E – A^T)^-1 V ;

                            P = [(E – A^T)^-1 ] ^T V или P = B^T V                            (2.15)

    Уравнения (2.13) и (2.14) называют моделью равновесных цен, а матрицу В^т – ценовым матричным мультипликатором (матричным мультипликатором ценового эффекта распространения).

    Эффект распространения DР, вызванный изменением доли добавленной стоимости на DV, может быть рассчитан из (2.15) как

                                               DP = B^T DV.

    2.3 Балансы трудовых ресурсов и основных производственных

             фондов