С помощью доверительных интервалов.

Всякая статистическая оценка параметра, вычисленная по данным выборки, может быть только приближенной. Поэтому она имеет определенный смысл лишь в том случае, когда указываются границы возможной погрешности оценки, т. е. указывается интервал, внутри которого с заданной вероятностью будет лежать истинное значение параметра. Этот интервал носит название доверительного, а его границы – доверительных границ.

Доверительные границы для среднего значения , дисперсии  и среднего квадратического отклонения σ₀ в случае нормальной генеральной совокупности определяются следующим образом.

Доверительные интервалы для оценки генеральной средней.Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то, как было указано ранее, величина  для больших выборок также распределена нормально со средним значением  и дисперсией . Поэтому для любого уровня значимости P легко построить доверительные границы для неизвестного значения , воспользовавшись неравенством:

,

подставляя в которое , получим

.

Величина t определяется по таблице П1 приложения по заданной вероятности α = 2Ф(t). Например, для n = 100 и надежности α = 0,95  t = 1,96., поэтому доверительный интервал будет иметь начальную точку  и конечную точку  

Следовательно, неизвестное среднее значение  с вероятностью 0,95 будет находиться внутри интервала .

Значения  являются доверительными границами для среднего значения генеральной совокупности при 5%-ном уровне значимости. Уровень значимости равен q = 1 - α = 1 - 0,95 = 0,05.

Если выборка имеет объем n ≤ 25, то величина t имеет распределение Стьюдента. Поэтому в этом случае значение t определяется по таблице П2 приложения по заданному значению α и k = n - 1.

Например, для n = 10 и α = 0,95 по таблице П2 приложения имеем 2t = 2,26. Поэтому доверительные границы для  будут равны

.

Определение доверительных интервалов для оценки генеральных величин  и . Если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина  имеет -распределение с числом степеней свободы k = n - 1. Здесь n - объем выборки и s² - дисперсия выборки.

Задавшись вероятностью α при определении доверительных границ для  и определив доверительный уровень значимости q = 1 - α, можно вычислить по -распределению величины  два значения : одно для вероятности P₁ = 1-q/2 обозначим его  и другое для вероятности P₂ = q/2, обозначим его - . Тогда вероятность того, что величина  окажется в границах от  до , будет равна α:

                                     (17)

или с той же вероятностью можно ожидать выполнение следующих неравенств:

Два числа  и  определяют доверительные границы для . Значения  для различных вероятностей P приведены в таблице П6 приложения.

Например, при доверительной вероятности α = 0,96 и q = 1 - α = 0,04 для выборки n = 20 по таблице П4 приложения имеем:

для k = n - 1 = 20 - 1 = 19 и P₁ = 1 - q/2 = 1 - 0,02 = 0,98  = 8,64; для P₂ = q/2 = 0,02  = 33,7; следовательно, доверительные границы для  будут равны

или .

Оценка для параметра  с помощью доверительного интервала  дает в то же время доверительный интервал  для оценки параметра σ₀ с той же доверительной вероятностью α.

Обозначим  и . Тогда

.                                (18)

Значения z₁ и z₂ для доверительной вероятности α = 0,95 приведены в таблице П5 приложения.

Для больших выборок можно использовать неравенство (13)

,

которое после замены  примет вид

.                  (19)

Задавшись α = 2Ф(t), по таблице П1 приложения определяем t и по полученному t вычисляем доверительные границы σ₀. Например, n = 100,

α = 0,95. По таблице П1 приложения t = 1,96, следовательно,

;

и доверительные границы с вероятностью α = 0,95 составляют

0,86s <σ₀< 1,14s.

Контрольные вопросы

1. Поясните термины: «генеральная совокупность», «выборка», «репрезентативная выборка».

2. Какие задачи решают выборочным методом, исследуя распределение случайной величины?

3. В чем отличие между повторными и бесповторными выборками? Дайте краткие определения следующих выборок: преднамеренные, случайные, мгновенные, общие, малые, большие.

4. Поясните требования к оценкам параметров генеральной совокупности, например, оценок  и s соответствующих параметров  и σ₀ генеральной совокупности: «они должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными».

5. По выборке объема n < 20 найдены значения  и s. Приведите последовательность процедур определения доверительного интервала, в котором находится истинное значение генеральной средней .

6. Приведите последовательность операций определения объема n выборки, необходимого для вычисления по этой выборке генеральной средней с точностью  и вероятностью α = 0,95.

7. Как можно определить по заданной вероятности α, объеме выборки п и среднего квадратического отклонения s выборки точность оценки σ₀ генеральной совокупности?