Отклонения генеральной совокупности по данным выборки.

На практике иногда необходимо найти неизвестное среднее квад-ратическое отклонение генеральной совокупности σ₀ по среднему квадратическому отклонению s малой выборки, когда ее объем n < 30. Для малых выборок s вычисляется по формуле

,

где в знаменателе берется (п - 1), для того чтобы компенсировать систематическую ошибку, возникающую при оценке σ₀ по s при малом числе n.

Эта задача сводится к определению вероятности α приближенного равенства , точность которого равна ε:

.                                (13)

Если случайная величина х в генеральной совокупности подчинена нормальному закону распределения, то вероятность α уравнения (13)

приближенного равенства  можно вычислить, используя так называемую функцию -распределение

.

Дифференциальная функция (плотность вероятности) -распределения определяется по формуле

при χ > 0.

Для вычисления вероятности α, полагая, что s - ε > 0, преобразуем находящееся в скобках уравнения (13) неравенство  следующим образом:

.

Умножим полученное неравенство на положительное число

.

Обозначив  и , получим

или .

Вероятность этого неравенства равна интегралу

.              (14)

Но левая часть этого уравнения есть преобразованное выражение вероятности

.

Следовательно, можно написать

                            (15)

или

.                         (16)

Значения интеграла L(q_s, k)приведены в табл. П.5 приложения.

Таким образом, по таблице П.3 приложения можно определить вероятность α того, что отклонения σ₀ от s не превосходят ε = q_ss.

Необходимо заметить, что если s < ε, то исходное неравенство для σ₀

надо заменить неравенством

,

так как величина σ₀ должна быть положительной. В этом случае неравенство для χ примет вид

и вероятность его будет определяться интегралом

.

Значения этого интеграла также приведены в табл. П.3 приложения. При помощи этой таблицы значений вероятностей L(q_s, k) можно решать задачи трех типов:

1) по заданной точности ε = q_ss и объеме выборки n определить вероятность α приближенного равенства ;

2) по заданной вероятности α приближенного равенства  и объеме выборки п определить точность ε = q_ss этого равенства;

3) по заданной точности ε и вероятности α приближенного равенства  определить необходимый объем n выборки.

Пример 4. По выборке объема п = 15 вычислено среднее квадратическое отклонение s = 0,6. Определить вероятность α приближенного равенства  при точности ε = 0,12.

Вычислим значение q_s, используя формулу ε = q_ss. Получим . По таблице П.3 для  и  находим α = 0,701.

Следовательно, среднее квадратическое отклонение  случайной переменной генеральной совокупности с вероятностью α = 0,701 находится в интервале 0,6 - 0,12 < σ₀ < 0,6 + 0,12, т. е. 0,48 < σ₀ < 0,72

Пример 5.Определить точность ε приближенного равенства  с вероятностью α = 0,96, если п = 15 и s = 0,12.

По таблице П.3 приложения для k = п - 1 = 14 и α = 0,96 находим q_s = 0,5.

По формуле ε = q_ss находим ε = 0,5·0,12= 0,06. Следовательно,

σ₀ = s ± ε = 0,12±0,06.

Пример 6.Определить объем выборки n, при котором s будет отличаться от σ₀ на ±0,2s с вероятностью α = 0,96.

Учитывая, что ε = q_ss = 0,2s, находим q_s = 0,2.

По таблице П.3 при q_s = 0,2 и α = 0,96 находим k = 60. Но k = n - 1, следовательно, n = 61.

Оценка параметров нормального распределения