Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Отклонения генеральной совокупности по данным выборки.
На практике иногда необходимо найти неизвестное среднее квад-ратическое отклонение генеральной совокупности σ0 по среднему квадратическому отклонению s малой выборки, когда ее объем n < 30. Для малых выборок s вычисляется по формуле , где в знаменателе берется (п - 1), для того чтобы компенсировать систематическую ошибку, возникающую при оценке σ0 по s при малом числе n. Эта задача сводится к определению вероятности α приближенного равенства , точность которого равна ε:
. (13) Если случайная величина х в генеральной совокупности подчинена нормальному закону распределения, то вероятность α уравнения (13) приближенного равенства можно вычислить, используя так называемую функцию -распределение . Дифференциальная функция (плотность вероятности) -распределения определяется по формуле при χ > 0. Для вычисления вероятности α, полагая, что s - ε > 0, преобразуем находящееся в скобках уравнения (13) неравенство следующим образом: . Умножим полученное неравенство на положительное число . Обозначив и , получим или . Вероятность этого неравенства равна интегралу . (14) Но левая часть этого уравнения есть преобразованное выражение вероятности .
Следовательно, можно написать
(15) или . (16) Значения интеграла L(qs, k)приведены в табл. П.5 приложения. Таким образом, по таблице П.3 приложения можно определить вероятность α того, что отклонения σ0 от s не превосходят ε = qss.
Необходимо заметить, что если s < ε, то исходное неравенство для σ0 надо заменить неравенством , так как величина σ0 должна быть положительной. В этом случае неравенство для χ примет вид и вероятность его будет определяться интегралом . Значения этого интеграла также приведены в табл. П.3 приложения. При помощи этой таблицы значений вероятностей L(qs, k) можно решать задачи трех типов: 1) по заданной точности ε = qss и объеме выборки n определить вероятность α приближенного равенства ; 2) по заданной вероятности α приближенного равенства и объеме выборки п определить точность ε = qss этого равенства; 3) по заданной точности ε и вероятности α приближенного равенства определить необходимый объем n выборки.
Пример 4. По выборке объема п = 15 вычислено среднее квадратическое отклонение s = 0,6. Определить вероятность α приближенного равенства при точности ε = 0,12. Вычислим значение qs, используя формулу ε = qss. Получим . По таблице П.3 для и находим α = 0,701. Следовательно, среднее квадратическое отклонение случайной переменной генеральной совокупности с вероятностью α = 0,701 находится в интервале 0,6 - 0,12 < σ0 < 0,6 + 0,12, т. е. 0,48 < σ0 < 0,72
Пример 5.Определить точность ε приближенного равенства с вероятностью α = 0,96, если п = 15 и s = 0,12.
По таблице П.3 приложения для k = п - 1 = 14 и α = 0,96 находим qs = 0,5. По формуле ε = qss находим ε = 0,5·0,12= 0,06. Следовательно,
σ0 = s ± ε = 0,12±0,06.
Пример 6.Определить объем выборки n, при котором s будет отличаться от σ0 на ±0,2s с вероятностью α = 0,96.
Учитывая, что ε = qss = 0,2s, находим qs = 0,2.
По таблице П.3 при qs = 0,2 и α = 0,96 находим k = 60. Но k = n - 1, следовательно, n = 61.
Оценка параметров нормального распределения |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 233. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |