Распределения случайной величины

Для установления закона распределения генеральной совокупности по большой выборке из нее пользуются рядом критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий λ А. Н. Колмогорова и критерий  Пирсона.

Критерий λ. Этот критерий дает достаточно точные результаты даже при объеме выборок, состоящих из нескольких десятков членов и прост для вычислений.

Для вычисления величины λ необходимо предварительно определить значения эмпирической F_э(х) и теоретической F(х) интегральной функции предполагаемого закона распределения для каждого наблюденного значения случайной величины х. Затем по максимальной разности значений этих функций определяется λ при помощи следующей формулы:

.

Так как  и , где  и  - накопленные теоретические и эмпирические частоты, а n — объем выборки, то вместо вышеприведенной формулы можно пользоваться следующей формулой:

.                                   (5)

Накопленной частотой любого m-го значения x_i называется сумма частот всех предшествующих значений x_i, включая и частоту самого x_i, т. е.

                                             (6)

где m — число значений х_i; f_i - частота i-го значения х.

Академик А. Н. Колмогоров доказал, что для непрерывных случайных величин

,

где . Для больших n и любом l > 0 .

Функция K(λ) табулирована Н. В. Смирновым и при помощи таблицы значений K(λ) составлена таблица значений P(λ), которая приведена в приложении (таблица П6).

По вычисленному по формуле (4) или (5) значению λ по таблице П5 приложения определяют P(λ). Если вероятность P(λ) окажется очень малой, практически, когда P(λ) ≤ 0,05, то расхождение между F(x) и F_э(х) считается существенным, а не случайным и гипотеза о предполагаемом законе распределения величины x бракуется. Если же вероятность P(λ) будет достаточно большой (практически, когда P(λ) > 0,05), то гипотеза принимается.

Использование критерия λ предполагает непрерывность  и, кроме того, предполагается, что эмпирическая функция  построена по не сгруппированным в интервалы значениям случайной величины х. Однако в случае, когда интервалы группировки достаточно малы, критерий λ дает, хотя и приближенную, но вполне приемлемую для практических целей оценку близости эмпирического распределения к теоретическому.

Для удобства вычисления критерия λ составляют вспомогательную таблицу, в которой накопленные частоты функции  и  вычисляются в зависимости от закона распределения х (таблица 6).

Таблица 6. Данные для вычисления критерия l

xi		fi
от	до

Критерий . Применим для любых сгруппированных совокупностей, но при достаточно большом их объеме. Для вычисления  необходимо предварительно вычислить теоретические частоты для наблюденных значений эмпирического распределения, т. е. произвести сопоставление этого распределения с предполагаемым теоретическим. При этом необходимо, чтобы величина частоты в каждом интервале значений х была бы не менее пяти. Если в каком-либо интервале значений х частота будет менее пяти, то такой интервал следует объединить с соседним.

Критерий  вычисляется по следующей формуле:

,                                                 (7)

где m– число интервалов сравниваемых частот;  – эмпирическая частота i-го интервала значений x;  – теоретическая частота i-го интервала значений х.

Для удобства вычисления  рекомендуется составить таблицу 7.

Таблица 7. Вспомогательная таблица для вычисления критерия

Интервалы x (от – до)

Далее вычисляют число степеней свободы k по формуле

k = m - p - 1,

где m — число сравниваемых частот (разрядов); p — число параметров теоретического распределения.

Для величины k найден закон распределения, по которому вычислены вероятности  для различных значений и k. Значения  приведены в таблице П7 приложения.

Если , гипотеза о законе распределения должна быть забракована. Если , то гипотеза принимается.