Построение уравнения регрессии .

Тема 7. Корреляционно-регрессионный анализ.

Анализ корреляционной связи.

Связь между признаками может быть вызвана несколькими причинами. Для выявления связи между показателями используют показатель ковариации и коэффициент корреляции.

Ковариация позволяет выявить наличие связи между показателями. Рассчитывается по формуле:

Если показатель ковариации меньше нуля – присутствует обратная связь между факторами (при увеличении значений одного показателя, значения другого уменьшаются, например, кривая спроса: чем выше цена, тем меньше спрос на товар), если показатель больше нуля – связь положительная (наблюдается одновременное увеличение или уменьшение значений обоих показателей, например, кривая предложения). Если ковариация равна нулю – вязи между факторами нет.

Недостаток данного показателя в том, что, показывая наличие связи, он не дает возможности оценить ее силу.

Для оценки тесноты (силы) используют коэффициент корреляции:

Значения данного коэффициента находятся в интервале [-1;+1]. Чем ближе значение к /1/, тем более тесная связь между факторами, чем дальше – тем связь слабее. Если целью исследования не является установить факт наличия любой связи, то при значении коэффициента корреляции от 0,15 до 0 считается, что связью можно пренебречь.

Коэффициент корреляции проверяется на значимость с помощью t-критерия Стьюдента:

.

При этом выдвигается гипотеза об отсутствии связи между факторами. Если расчетное значение t-критерия больше табличного, то гипотеза об отсутствии связи отвергается. Делается вывод о наличии значимой связи.

Недостаток коэффициента корреляции в том, что с его помощью можно установить факт наличия связи, оценить ее силу. Однако с его помощью невозможно получить функциональную зависимость – невозможно оценить, на сколько изменится один фактор при изменении другого.

Построение уравнения регрессии .

Регрессия – это зависимость. При построении регрессии обязательно выделяется результативный и факторные признаки. Простейшая регрессионная связь – парная регрессия, когда факторный признак определяется значением одного другого. Истинная зависимость определяется уравнением:

,

где - реальные значения признака,  - параметры уравнения регрессии, - случайная составляющая уравнения (она включает в себя влияние других, неучтенных факторов, ошибки регистрации, ошибки спецификации).

Уравнение в данном случае будет иметь вид , где a и b – это оценки параметров и . Графически подбор прямой выглядит следующим образом (рис. 1).

Подбор осуществляется по методу наименьших квадратов, согласно которому прямая проходит через точки таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических была минимальна. Таким образом, главная задача – это определить значения параметров уравнения.

Параметры уравнения регрессии можно найти следующим образом:

;

Для оценки качества подобранного уравнения рассчитывают коэффициент детерминации, как отношение объясненной уравнением дисперсии к общей дисперсии:

.

Значение коэффициента находится в интервале [0;1]. Чем ближе значение к единице, тем больше наблюдений объясняется подобранным уравнением.

Для оценки значимости (существенности) совокупного коэффициента регрессии рассчитывается F-критерий Фишера:

,где в числителе – разница между общей и теоретической дисперсией (или дисперсия остатков), l – число параметров уравнения. Если расчетное значение критерия меньше табличного, то с вероятностью (1- ) можно утверждать, что связь между результативным и факторными признаками существенна.

Например. Определить направление и тесноту связи между спросом на товар и затратами на рекламу. Определить параметры уравнения регрессии.

Решение. Для определения направления и тесноты связи необходимо рассчитать средние значения признаков:

Выручка (У)  тыс. руб.

Реклама (Х) тыс.руб.

Направление связи определяется следующим образом:

Как видно из расчета, связь между спросом на товар и затратами на рекламу прямая, т. е. увеличение затрат на рекламу повлечет за собой рост выручки.

Для расчета коэффициента корреляции необходимо определить значения дисперсии по обоим признакам.

Значение коэффициента корреляции

Связь прямая и достаточно тесная.

Связь между выручкой и затратами на рекламу описывается уравнением У=а+в*Х. Определяем параметры уравнения:

;

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид У=12,36+4,4*Х .