Размеры участков земной поверхности, принимаемые за плоскость

Рассмотрим, для каких по размерам участков местности можно применять ортогональное проецирование, т.е. при которых кривизна Земли может не учитываться в процессе создания карты или плана. На рис. 1.4 изображена часть поверхности Земли в виде дуги BCD радиуса R и ее проекция PQ на плоскость PCQ, где PC = CQ.

Рис. 1.4 - Влияние кривизны Земли на измеряемые расстояния

Для простоты рассуждений рассмотрим рис. 1.4, правую половину изображения проекции. Из рисунка 1.4. видно, что с удалением от точки С разница между длиной линии на сферической поверхности CD = S₁ и ее проекцией на плоскость CQ = S возрастает, а расстояние OD увеличивается на величину Δh, характеризующую изменение высоты точки местности. Проекция кривой уровенной поверхности СD на горизонтальную плоскость CQ приводит к получению разностей ΔS = CQ – CD и Δh = OQ – OD, которые возникают из-за влияния кривизны при проецировании сферы на плоскость.

Определим разность между длиной касательной S и длиной дуги S₁. Выразим угол в радианах, тогда согласно рис.1.4 получим, что

S = R × tgα,                                                                                  (1.2)

S₁ = R×α.                                                                                                (1.3)

 Откуда следует, что

ΔS = R(tgα - α).                                                                        (1.4)

Центральный угол α по своей величине незначителен. Поэтому при разложении tgα в убывающий ряд можно ограничится вторым членом ряда и пренебречь последующими из-за их незначительности. Тогда tgα= . Подставим это значение в формулу 1.4. В результате получим, что

 ΔS = R .                                                                       (1.5)

Из формулы S₁=R× α  получим, что α³ = и заменим α в формуле 1.4. Окончательно найдем, что

.                                                                         (1.6)

Иначе обстоит дело с влиянием кривизны Земли на высоты точек Из рис. 1.4 видно, что точка D находится на уровенной поверхности и ее высота равна нулю. Определим величину отрезка Δh, характеризующего отклонение точки Q от уровенной поверхности. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCQ, откуда (R + h)² = S² + R². Упростив данное равенство, имеем . Δh =  Ввиду малого значения Δh в сравнении с 2R окончательно получим, что

Δh =                                                                             (1.7)

Из сравнения формул 1.6 и 1.7 видно, что значение Δh существенно больше ΔS.

 Если условно принять радиус Земли постоянным, то можно вычислить расхождения ΔS между длинами дуг на уровенной поверхности и их проекциями на плоскость, а также отклонения высот точек Δh от их положения на поверхности сферы из-за кривизны Земли (табл. 1.1). Значение величины S возрастает незначительно. При дуге 11 км S составляет лишь 1:1 000 000 ее длины. Относительная погрешность измерения расстояний современными приборами составляет порядка 1:1 000 000. Поэтому принято считать, что участок радиусом 11 км можно принимать за плоскость, а при определении превышений между точками местности необходимо вводить поправку Δh. Учитывая реальную точность, с которой производят измерения на местности при геодезических работах, можно считать, что на участках радиусом 20-25 км погрешность от замены уровенной поверхности плоскостью не имеет практического значения.

Таблица 1.1 Погрешность измеряемых расстояний под влиянием кривизны Земли