Численное интегрирование функции одной переменной

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

5.1. Квадратурные формулы

     Пусть требуется вычислить определенный интеграл

где f (x) – интегрируемая на промежутке [a, b] функция, заданная таблично в узлах сетки , т.е. известны ее значения f (x_i) для

i = 0, 1, 2,….,n.

     Для приближенного вычисления определенного интеграла I используют квадратурные формулы вида I » , где коэффициенты α_i выбирают тем или иным методом. Погрешность квадратурной формулы зависит от выбора коэффициентов α_i, разбиения промежутка [a, b] и погрешности вычислений, в которую входит и погрешность вычисления значений функции f (x_i) в узлах сетки.

5.2. Квадратурная формула Симпсона

Предполагается, что промежуток [a, b] разбит на четное число n = 2m равных промежутков длины h. На каждом из промежутков [x_i, x_i₊₂] для

i = 0, 2, 4,…, (2m – 2) функцию f (x) заменим на интерполяционный полином 2-го порядка g_i(x) = a_ix² + b_ix + c_i, которому графически соответствует парабола, проходящая через 3 точки: (x_i, f(x_i)), (x_i₊₁, f(x_i₊₁)) и (x_i₊₂, f(x_i₊₂)). Интеграл от функции g_i(x) по промежутку [x_i, x_i₊₂] даст приближенное значение интеграла , а сумма этих интегралов по всем участкам даст приближенное значение интеграла . Соответствующая квадратурная формула называется квадратурной формулой парабол, или квадратурной формулой Симпсона и имеет следующий вид:

, или

.           (15)

В этой формуле:

– шаг сетки, т.е. длина промежутка [x_i, x_i₊₁] для i = 0, 1, 2,…, 2m– 1; y_i = f (x_i) – значения функции в узлах сетки (для i = 0, 1, 2,…, 2m).

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутты

Пусть требуется найти на промежутке [a, b] решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:

y¢ = f (x, y), y(x₀) = y₀,

где x₀, y₀ – заданные числа.

Предполагается, что решение y(x) задачи Коши существует и единственно.

Приближенное решение дифференциального уравнения 1-го порядка находят в узлах одномерной сетки , т.е. вычисляют значения y_i y(x_i) для i = 0, 1,…., n. Для численного решения задачи Коши используют разностные методы и методы Рунге – Кутты (Рунге-Кутта).

Опишем так называемый метод Рунге-Кутты 4-го порядка, наиболее широко используемый на практике.

Зададим на промежутке [a, b] равномерную сетку с шагом , тогда x_i = x₀ + ih для i = 0, 1,….,n. Значение y(x₀) = y₀ задано в начальном условии задачи. Каждое следующее значение y_i₊₁ y(x_i₊₁) для i = 0, 1,...,n – 1 находят по формулам:

y_i₊₁ = y_i + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄),                    (16)

где величины k₁, k₂, k₃, k₄ для каждого y_i₊₁ вычисляют по формулам:

                           (17)

Говорят, что некоторый численный метод решения задачи Коши имеет порядок точности k > 0, если существует такое число q > 0, при котором выполнено условие:

ôy_i – y (x_i)ô£ q h^k, i = 0, 1,...,n,

где h – шаг сетки, y (x_i) –значение точного решения уравнения в точке x_i, а

y_i – приближенное значение решения в точке x_i, полученное данным методом.

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка имеет четвертый порядок точности.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 299.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...