Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Решение систем линейных алгебраических уравнений3.1. Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – это система уравнений вида:
Здесь x1, x2, ….., xn – неизвестные величины, aij, bj – заданные коэффициенты (i = 1, 2,…,m; j = 1, 2, ….,n). Решение системы – это такой набор чисел x1*, x2*, ….., xn*, при подстановке которых во все уравнения системы уравнения становятся тождествами. СЛАУ называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной, если ни одного решения у нее нет. СЛАУ называется определенной, если у нее есть решение и притом только одно. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными (m = n). Если обозначить матрицы:
то получим матричную форму СЛАУ: AX = В. Матрица А называется матрицей системы, матрица-столбец В – столбцом свободных членов, а Х – столбцом неизвестных. Требуется найти решение системы – столбец Известно, что если матрица системы А – невырожденная (ее определитель не равен нулю), то система имеет единственное решение. Точное решение системы Х* удается получить только для небольших размерностей n, если производить все вычисления без округлений (в простых дробях). В реальных задачах чаще получается приближенное решение системы. 3.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса решения СЛАУ – это метод исключения неизвестных. Решение методом Гаусса осуществляется в два этапа, которые называются «прямой ход» и «обратный ход». На k-м шаге прямого хода (k = 1,…,n–1) осуществляется выбор ведущей строки и ведущего элемента, затем исключение неизвестной xk из уравнений с номерами i > k. В результате прямого хода за (n –1) шагов матрица А приводится к верхнему треугольному виду и система приобретает вид: 
После этого легко найти неизвестные xn, xn-1,….,x1 (обратный ход). Различные схемы реализации метода Гаусса отличаются способом выбора ведущего элемента. Опишем одну из этих схем – схему единственного деления. Для удобства вычислений будем использовать расширенную матрицу A|В, у которой первые n столбцов совпадают с матрицей А, а (n+1)-й столбец – это столбец В свободных членов системы:
Описание алгоритма метода. Прямой ход. На каждом из шагов с номерами k = 1, …, n –1 выполняем следующие операции. 1) выбираем ведущую строку с номером k, ведущий элемент akk, и все элементы ведущей строки расширенной матрицы делим на число dk = akk: 2) из каждой строки расширенной матрицы с номером i > k вычитаем ведущую строку, умноженную на число сik = aik, получая нули под ведущим элементом:
3) если k = n – 1, то прямой ход закончен, а если нет, то увеличиваем номер шага и ведущей строки: k := k +1 и повторяем шаги 1), 2). В результате прямого хода за (n–1) шагов системаприводится к верхнему треугольному виду, например, система 4-го порядка приводится к виду:
Полученная система эквивалентна исходной системе, т.е. имеет то же самое решение. Обратный ход. По формулам
находим решение системы x1, x2, ….., xn. Схема единственного деления реализации метода Гаусса может быть использована только в том случае, когда ведущие элементы всех шагов отличны от нуля. 3.3. Вычисление определителя матрицы с использованием метода Гаусса При решении системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными методом Гаусса (n – 1) раз производится деление ведущей строки на ведущий элемент, при этом определитель матрицы системы тоже делится на это число. После приведения системы к верхнему треугольному виду определитель матрицы полученной системы равен произведению элементов главной диагонали:
|
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 302. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
; 
,
.
.
; (10)
; (11)
; 
i = n –1, n –2,…,1 (12)
. Если все ведущие элементы были отличны от нуля, тогда определитель матрицы исходной системы равен произведению всех ведущих элементов на число 
:
(13)