Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Решение систем линейных алгебраических уравнений
3.1. Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – это система уравнений вида: Здесь x1, x2, ….., xn – неизвестные величины, aij, bj – заданные коэффициенты (i = 1, 2,…,m; j = 1, 2, ….,n). Решение системы – это такой набор чисел x1*, x2*, ….., xn*, при подстановке которых во все уравнения системы уравнения становятся тождествами. СЛАУ называется совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной, если ни одного решения у нее нет. СЛАУ называется определенной, если у нее есть решение и притом только одно. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными (m = n). Если обозначить матрицы: ; , то получим матричную форму СЛАУ: AX = В. Матрица А называется матрицей системы, матрица-столбец В – столбцом свободных членов, а Х – столбцом неизвестных. Требуется найти решение системы – столбец . Известно, что если матрица системы А – невырожденная (ее определитель не равен нулю), то система имеет единственное решение. Точное решение системы Х* удается получить только для небольших размерностей n, если производить все вычисления без округлений (в простых дробях). В реальных задачах чаще получается приближенное решение системы. 3.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса решения СЛАУ – это метод исключения неизвестных. Решение методом Гаусса осуществляется в два этапа, которые называются «прямой ход» и «обратный ход». На k-м шаге прямого хода (k = 1,…,n–1) осуществляется выбор ведущей строки и ведущего элемента, затем исключение неизвестной xk из уравнений с номерами i > k. В результате прямого хода за (n –1) шагов матрица А приводится к верхнему треугольному виду и система приобретает вид: После этого легко найти неизвестные xn, xn-1,….,x1 (обратный ход). Различные схемы реализации метода Гаусса отличаются способом выбора ведущего элемента. Опишем одну из этих схем – схему единственного деления. Для удобства вычислений будем использовать расширенную матрицу A|В, у которой первые n столбцов совпадают с матрицей А, а (n+1)-й столбец – это столбец В свободных членов системы: . Описание алгоритма метода. Прямой ход. На каждом из шагов с номерами k = 1, …, n –1 выполняем следующие операции. 1) выбираем ведущую строку с номером k, ведущий элемент akk, и все элементы ведущей строки расширенной матрицы делим на число dk = akk: ; (10) 2) из каждой строки расширенной матрицы с номером i > k вычитаем ведущую строку, умноженную на число сik = aik, получая нули под ведущим элементом: ; (11) 3) если k = n – 1, то прямой ход закончен, а если нет, то увеличиваем номер шага и ведущей строки: k := k +1 и повторяем шаги 1), 2). В результате прямого хода за (n–1) шагов системаприводится к верхнему треугольному виду, например, система 4-го порядка приводится к виду: Полученная система эквивалентна исходной системе, т.е. имеет то же самое решение. Обратный ход. По формулам ; i = n –1, n –2,…,1 (12) находим решение системы x1, x2, ….., xn. Схема единственного деления реализации метода Гаусса может быть использована только в том случае, когда ведущие элементы всех шагов отличны от нуля. 3.3. Вычисление определителя матрицы с использованием метода Гаусса При решении системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными методом Гаусса (n – 1) раз производится деление ведущей строки на ведущий элемент, при этом определитель матрицы системы тоже делится на это число. После приведения системы к верхнему треугольному виду определитель матрицы полученной системы равен произведению элементов главной диагонали: . Если все ведущие элементы были отличны от нуля, тогда определитель матрицы исходной системы равен произведению всех ведущих элементов на число : (13)
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 164. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |