Задания на контрольную работу по теме «Численные методы»

Математика

Часть 6

Задания контрольной работы по теме «Численные методы»

и методические указания к ее выполнению

для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета

всех специальностей

Контрольная работа №9

Мурманск

2008 г.

УДК 519.06 (076.5)

ББК 22.193 я 73

3 15

Составитель: Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ  05 декабря 2007 г., протокол № 4

Рецензент: Середа А.-В.И., канд. физ.-мат. наук, заведующий кафедрой ВМ и ПО ЭВМ

ÓМурманский государственный технический университет, 2008

Оглавление

Стр.

Введение. 4

Задания на контрольную работу по теме «Численные методы» 5

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу 8

Справочный материал к выполнению контрольной работы 9

1. Погрешности вычислений. 9

1.1. Абсолютная и относительная погрешности. 9

1.2. Вычисления с учетом погрешностей. 11

2. Решение нелинейных уравнений. 12

2.1. Изоляция корней. 12

2.2. Уточнение корней уравнения методом деления отрезка пополам. 13

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 15

3.1. Системы линейных алгебраических уравнений. 15

3.2. Решение систем  линейных уравнений методом Гаусса. 16

3.3. Вычисление определителя матрицы с использованием метода Гаусса. 17

4. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и его использование 18

5. Численное интегрирование функции одной переменной. 20

5.1. Квадратурные формулы.. 20

5.2. Квадратурная формула Симпсона. 20

6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-Кутты.. 21

7. Решение дифференциальных уравнений с частными производными. 22

7.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с частными производными 22

7.2. Решение уравнения теплопроводности методом сеток. 24

Решение примерного варианта контрольной работы.. 26

Рекомендуемая литература.. 38

Введение

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям в МГТУ. В пособии содержатся ссылки на теоретический материал по теме «Численные методы», а также список рекомендуемой литературы и задания к выполнению контрольной работы. В результате изучения темы «Численные методы» студенты должны:

• знать основные правила вычисления приближенных значений величин;

• уметь оценивать погрешность полученного результата;

• знать основные методы решения нелинейных уравнений;

• уметь решать системы линейных алгебраических уравнений;

 • знать основы интерполирования функций, заданных таблично;

• иметь представление об основных методах численного интегрирования и уметь использовать квадратурные формулы на практике;

• знать численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и иметь навыки их использования;

• иметь представление о численных методах решения дифференциальных уравнений с частными производными (уравнений математической физики).

Данные методические рекомендации включают справочный материал, необходимый для выполнения контрольной работы по теме «Численные методы», и решение примерного варианта работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.

Задания на контрольную работу по теме «Численные методы»

Контрольная работа состоит из семи задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задача 1. Даны приближенные значения величин x и y и известно, что абсолютная погрешность D(х)= N/50, а относительная погрешность d (у)= N% (здесь и далее N – номер варианта). Требуется:

1) вычислить значение величины , оценить предельную абсолютную погрешность D(s) и округлить значение s в соответствии с погрешностью;

2) вычислить приближенное значение функции f (x, y) = ln(x + N)∙(N + y²),

оценить предельную абсолютную погрешность значения функции и округлить его в соответствии с погрешностью.

Задача 2. Дано уравнение N·x³ + x – N/3 = 0 (N – номер варианта). Требуется:

1) определить число корней уравнения и найти промежутки их изоляции;

2) вычислить значение одного из корней уравнения с точностью ε = 0,01 при помощи метода деления отрезка пополам.

Указание. Все промежуточные вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой.

Задача 3. Дана система линейных алгебраических уравнений:

 где N – номер варианта.

Требуется:

1) решить систему методом Гаусса;

2) вычислить определитель матрицы системы, используя метод Гаусса.

Указания. При решении системы использовать расширенную матрицу. Все промежуточные вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой. Округлить значения полученного решения x₁, x₂, x₃, x₄ до 2-x десятичных знаков после запятой.

Задача 4. Дана таблица значений функции f (x):

(N – номер варианта).

Требуется:

   1) по табличным данным построить для функции f (x) интерполяционный полином 4-го порядка в форме Лагранжа и привести его к стандартному виду целого многочлена;

2) используя полученный полином, вычислить приближенное значение функции f (x) в точке  = N + 0,3.

Указания Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой. Округлить полученное значение f ( ) до 3-x десятичных знаков после запятой

Задача 5. Дан определенный интеграл , где N – номер варианта. Требуется: составить таблицу значений подынтегральной функции в точках

 x_i = 1 + ih, где i  = 0, 1, …,10  с шагом h = 0,1 и вычислить приближенное значение интеграла, используя эту таблицу и формулу Симпсона.

Указание. Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой, полученный результат округлить до 3-х десятичных знаков после запятой.

Задача 6.Дана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:  y′ = Nx – y², y(0) = N/10 (N – номер варианта). Решить задачу при помощи метода Рунге-Кутты на промежутке [0; 0,5] с шагом h = 0,1.

Указание. Все вычисления производить, используя не менее 4-х десятичных знаков после запятой.

Задача 7.Температура однородного стержня U = U (х, t) в сечении х в момент времени t  удовлетворяет уравнению теплопроводности. Используя метод сеток, найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности  в области  при заданных условиях: начальное распределение температуры в стержне U (х, 0) = f (x), температура на концах стержня U (0; t) = α (t), U (1,5; t) = β (t), где f (x), α (t), β (t) – заданные функции.

Указания. Для решения использовать сетку с шагом h = 0,3 по переменной х и с шагом d = 0,015 по переменной t. Все значения функции в узлах сетки вычислять с округлением до 4-го знака после запятой.

Номер варианта	Функция f (x)	Функция α (t)	Функция β (t)
1	f (x) =	α (t) = 1 – t2	β (t) = 0,5
2	f (x) = sin х	α (t) = 2 t	β (t) = cos
3	f (x) = ln (х + 1)	α (t) = t2	β (t) = ln (2,5)
4	f (x) =	α (t) = cos t	β (t) = 0,625
5	f (x) = x2 + 2х	α (t) = sin t	β (t) = 5,25
6	f (x) =	α (t) = t2 + t	β (t) = 1
7	f (x) =	α (t) = t2 + 1	β (t) = 2
8	f (x) = ln (4 – 2х)	α (t) = ln (t + 4)	β (t) = 0
9	f (x) =	α (t) = 3 t	β (t) = 0,6
10	f (x) =	α (t) = 2cos t	β (t) = 2,5