Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и его использование

В основе многих численных методов лежит замена одной функции f (x), которая не может быть использована для решения некоторой задачи, другой функцией φ (x), близкой к f (x) в некотором смысле и обладающей свойствами, которые позволят производить над нею необходимые вычислительные операции. Такую замену принято называть аппроксимацией функции f (x). Разные виды аппроксимации отличаются выбором аппроксимирующей функции φ (x), критериями близости функций f (x) и φ (x) и др.

Пусть на промежутке [a, b] задана сетка – множество точек , называемых узлами сетки. И пусть функция f (x) задана лишь в узловых точках, т.е. известны ее значения y_i = f (x_i) для

i = 0, 1, 2,….,n. Такие данные удобно представить в виде таблицы:

Кроме того, пусть задана некоторая точка [a, b], не совпадающая ни с одной из узловых точек.

Задача интерполяции функции состоит в том, чтобы по имеющейся таблице значений f (x) найти ее значение в точке [a, b] с некоторой степенью точности.

Для решения этой задачи строится аппроксимирующая функция φ (x),

значения которой в узловых точках совпадают с заданными значениями функции: φ (x_i) = y_i для i = 0, 1, 2,….,n. Геометрически это означает, что графики функций φ (x) и f (x) пересекаются или касаются друг друга не менее, чем в (n+1) заданных точках. Удобной для этой цели функцией φ (x) является полином (многочлен) n-го порядка:

φ (x) = P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +…….+ a_nxⁿ.

Одной из форм представления интерполяционного полинома является интерполяционный полином в форме Лагранжа:

.

Интерполяционный полином n-го порядка в форме Лагранжа состоит из (n+1)-го слагаемого, каждое из которых является многочленом n-го порядка.

Например, интерполяционный полином 4-го порядка в форме Лагранжа состоит из 5 слагаемых и в развернутом виде выглядит так:

Если задать на промежутке [a, b] равномерную сетку с шагом , т.е. точки x_i = x₀ + ih  (i = 0, 1, 2, 3, 4) тогда формула полинома L₄(x) будет иметь более простой вид:

(14)

Чтобы найти приближенное значение функции f (x) в точке [a, b], следует воспользоваться формулой f( ) » L₄( ). При этом можно не приводить полученный полином в форме Лагранжа к стандартному виду P_n(x), если это не требуется для другой цели, а просто подставить значение х =  в формулу (14).