Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Содержание теоретического материала и ссылки на литературу

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒
№ задачи Содержание (темы) Литература
1 Погрешности вычислений. Предельная абсолютная погрешность и предельная относительная погрешности вычислений. Вычисление приближенных значений функции [1], гл. 1, §1; [2], гл. 1.1; [4], гл. I, работа №1(1), 2(2); [5], §1, 2.1, 2.2.1  
2 Методы решения нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам [1], гл. 4, §26; [2], гл.5.1, 5.2; [3], гл.IX, № 1168, 1169, 1170, 1178, 1179; [4], гл. IV, работа №1(15); [5], §2
3 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Вычисление определителя с использованием метода Гаусса [1], гл.3, §19; [2], гл. 2.1, 2.2; [4], гл. III, работа №2(7), 3(8); [5], §4.1.1, 6.1,
4 Полиномиальная интерполяция функций. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и его использование [1], гл. 1, §4, 5; [2], гл. 8.1, 8.2; [3], гл.IX, № 1192-1196; [4], гл. VI, работа №1(32)
5 Квадратурные формулы численного интегрирования. Формула  Симпсона [1], гл. 2, §15; [2], гл. 12.1, 12.3; [3], гл.IX, № 1205-1207; [4], гл. VII, работа №2(39)
6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге - Кутты [1], гл. 2, §18; [2], гл. 14.1, 14.5, 14.6; [3], гл.IX, № 1234-1237; [4], гл. VIII, работа №2(43)
7 Понятие о методе сеток. Использование метода сеток для решения уравнений математической физики [1], гл. 6, §31; [2], гл. 17.3, 19.1, 19.2, 20.1, 20.2; [4], гл. IX, работа №2(48)

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению контрольной работы

Погрешности вычислений

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

Практические вычисления проводятся над числами, которые могут быть заданы не только точно, но и приближенно. Например, число 1/3 можно записать в виде десятичной дроби только приближенно.

Правило округления чисел: если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то все сохраняемые цифры не изменяются, а если первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Примеры. 13523 » 13500 = 135·102, 2,1564 » 2,16, – 0,325 » –0,33.

Обозначим – точное значение некоторой величины, a – приближенное значение этой величины (приближенное число).

Величину  называют абсолютной погрешностью числа a.

В большинстве случаев  неизвестно, однако, можно указать некоторое число D(a), оценивающее абсолютную погрешность приближенного числа, т.е. удовлетворяющее условию . Число D(a) называют предельной абсолютной погрешностью числа a. Обычно предельную абсолютную погрешность называют просто абсолютной погрешностью и записывают так: , причем в числах a и D(a) сохраняют одинаковое число знаков после запятой. При округлении предельной абсолютной погрешности его значение всегда берется «с избытком», т.е. последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Примеры. = 3,1416 ± 0,0001; 0, 67 ± 0,01.

Предельной относительной погрешностью числа a  называют величину  или 100%. В случае, когда  неизвестно, полагают, что d (a) =   или d (a) = ·100%.  Обычно предельную относительную погрешность числа называют просто относительной погрешностью.

Примеры. = 3,1416 ± 0,0001

    = а* = 0, 67 ± 0,01 .

     Первая слева цифра числа, отличная от нуля, и все цифры, расположенные правее нее, называются значащими цифрами числа. В записи погрешностей обычно оставляют одну значащую цифру, например, D(a) = 4·105, D(b) = 0,05, или d (х)= 3%.

     Если приближенное число записано без указания его погрешности, то по умолчанию считается, что его абсолютная погрешность не превосходит единицы последнего сохраненного разряда в записи числа, например, запись

а » 2,320 означает, что D(a) = 0,001.

1.2. Вычисления с учетом погрешностей

     При выполнении действий над приближенными числами происходит накопление погрешностей, и полученный результат не может быть точнее исходных данных.

Основные формулы для вычисления погрешностей арифметических операций:

D(с*·a) = с*·D(a), если с* – точное число (константа);

;                              (1)

;

;                            (2)

;

.                                   (3)

При выполнении арифметических операций обычно все промежуточные вычисления осуществляют с одной или двумя запасными десятичными цифрами по сравнению с желаемым результатом, а затем полученный результат округляют: либо до требуемой в задаче точности, либо в соответствии абсолютной погрешностью результата (например, если a = 12305362, D(a) =

 = 2·105, то a » 123·105;  если b = 1,2345, D(b) = 0,05, то b » 1,23).

Примеры.

1. Найти разность чисел: a* = 1,24 ± 0,03 и b* = 7,361 ± 0,007.

Решение. Погрешность: D(a – b) = D(a) + D(b) = 0,037 » 0,04 (формула (1)).

Результат вычитания: a – b = (1,24 – 7,361) ± 0,04 » – 6,12 ± 0,04.

2. Найти отношение чисел: х = 0,255 и у = 34,01, если известна погрешность d (х)= 1%.

Решение. Приближенное число у записано без указания его погрешности, следовательно, D(у) = 0,01, откуда находим: d (у)= .

0,007498,

 ={формула (3)}= d (х) + d (у)= 0,01 + 0,0003 = 0,0103 » 0,01,

.

Результат деления: .

Если значение аргумента функции y = f (x) – приближенное число х, то абсолютную погрешность значения функции оценивают по следующей формуле:

, где максимум модуля производной вычисляется как его наибольшее значение на промежутке .

Абсолютную погрешность значения функции 2-х аргументов z = f (x, y) можно оценить по формуле:

,           (4)

где максимум модулей частных производных находят среди всех их значений в области

Аналогично определяется абсолютная погрешность значения функции трёх и более переменных.




⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 328.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...