Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Содержание теоретического материала и ссылки на литературу
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы. Справочный материал к выполнению контрольной работы Погрешности вычислений 1.1. Абсолютная и относительная погрешности Практические вычисления проводятся над числами, которые могут быть заданы не только точно, но и приближенно. Например, число 1/3 можно записать в виде десятичной дроби только приближенно. Правило округления чисел: если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то все сохраняемые цифры не изменяются, а если первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Примеры. 13523 » 13500 = 135·102, 2,1564 » 2,16, – 0,325 » –0,33. Обозначим – точное значение некоторой величины, a – приближенное значение этой величины (приближенное число). Величину называют абсолютной погрешностью числа a. В большинстве случаев неизвестно, однако, можно указать некоторое число D(a), оценивающее абсолютную погрешность приближенного числа, т.е. удовлетворяющее условию . Число D(a) называют предельной абсолютной погрешностью числа a. Обычно предельную абсолютную погрешность называют просто абсолютной погрешностью и записывают так: , причем в числах a и D(a) сохраняют одинаковое число знаков после запятой. При округлении предельной абсолютной погрешности его значение всегда берется «с избытком», т.е. последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Примеры. = 3,1416 ± 0,0001; 0, 67 ± 0,01. Предельной относительной погрешностью числа a называют величину или 100%. В случае, когда неизвестно, полагают, что d (a) = или d (a) = ·100%. Обычно предельную относительную погрешность числа называют просто относительной погрешностью. Примеры. = 3,1416 ± 0,0001 = а* = 0, 67 ± 0,01 . Первая слева цифра числа, отличная от нуля, и все цифры, расположенные правее нее, называются значащими цифрами числа. В записи погрешностей обычно оставляют одну значащую цифру, например, D(a) = 4·105, D(b) = 0,05, или d (х)= 3%. Если приближенное число записано без указания его погрешности, то по умолчанию считается, что его абсолютная погрешность не превосходит единицы последнего сохраненного разряда в записи числа, например, запись а » 2,320 означает, что D(a) = 0,001. 1.2. Вычисления с учетом погрешностей При выполнении действий над приближенными числами происходит накопление погрешностей, и полученный результат не может быть точнее исходных данных. Основные формулы для вычисления погрешностей арифметических операций: D(с*·a) = с*·D(a), если с* – точное число (константа); ; (1) ; ; (2) ; . (3) При выполнении арифметических операций обычно все промежуточные вычисления осуществляют с одной или двумя запасными десятичными цифрами по сравнению с желаемым результатом, а затем полученный результат округляют: либо до требуемой в задаче точности, либо в соответствии абсолютной погрешностью результата (например, если a = 12305362, D(a) = = 2·105, то a » 123·105; если b = 1,2345, D(b) = 0,05, то b » 1,23). Примеры. 1. Найти разность чисел: a* = 1,24 ± 0,03 и b* = 7,361 ± 0,007. Решение. Погрешность: D(a – b) = D(a) + D(b) = 0,037 » 0,04 (формула (1)). Результат вычитания: a – b = (1,24 – 7,361) ± 0,04 » – 6,12 ± 0,04. 2. Найти отношение чисел: х = 0,255 и у = 34,01, если известна погрешность d (х)= 1%. Решение. Приближенное число у записано без указания его погрешности, следовательно, D(у) = 0,01, откуда находим: d (у)= . 0,007498, ={формула (3)}= d (х) + d (у)= 0,01 + 0,0003 = 0,0103 » 0,01, . Результат деления: . Если значение аргумента функции y = f (x) – приближенное число х, то абсолютную погрешность значения функции оценивают по следующей формуле: , где максимум модуля производной вычисляется как его наибольшее значение на промежутке . Абсолютную погрешность значения функции 2-х аргументов z = f (x, y) можно оценить по формуле: , (4) где максимум модулей частных производных находят среди всех их значений в области
Аналогично определяется абсолютная погрешность значения функции трёх и более переменных. |
||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 192. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |