Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение нелинейных уравнений

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

2.1. Изоляция корней

Пусть требуется найти корни (решения) уравнения

f (x) = 0                                          (5),

где f (x) – нелинейная функция.

В общем случае можно говорить лишь о приближенном вычислении корней уравнения (5), т.е. о получении такого значения аргумента, при котором f (x) » 0. Принято считать, что точное решение x* этого уравнения получено с точностью ε, если для полученного приближенного решения x выполнено условие .

Если непрерывная функция f (x) является знакопеременной в области определения, то уравнение (5) имеет конечное или бесконечное количество корней. Каждый из корней получают, используя численные методы, после процедуры отделения корней.

Отделить корень уравнения (5) – значит найти такой интервал (a, b), в котором содержится корень уравнения, причем только один.

Известно, что если на концах некоторого промежутка [a, b] непрерывная функция f (x) имеет разные знаки, т.е. , а внутри этого промежутка производная  знак не меняет, то в интервале (a, b) существует корень уравнения (5), причем только один.

Процедура отделения корней может быть осуществлена графически (построением графика функции f (x)) или с помощью проверки знака функции на некотором множестве значений x, например, на множестве равноотстоящих точек на оси абсцисс.

2.2. Уточнение корней уравнения методом деления отрезка пополам

Пусть требуется решить уравнение (5) с заданной точностью ε. Известен промежуток изоляции корня x* – промежуток [a, b], на концах которого непрерывная функция f (x) имеет разные знаки, а внутри этого промежутка производная  знак не меняет.

Процедура уточнения корня заключается в построении последовательности точек x0, x1, x2, ….. xk,…., такой, что . Процесс вычисления заканчивается, когда получено xk, удовлетворяющее условию

.                                   (6)

Опишем метод уточнения корня, называемый методом деления отрезка пополам, или методом дихотомии, или методом бисекции. Иногда этот метод называют еще методом проб.

     Уточнение корня методом деления отрезка пополам осуществляется в следующем порядке:

1) вводим обозначении: а0 = a, b0 = b;

2) вычисляем ;

3) из двух интервалов (а0, x0) и (x0, b0) выбираем тот, на концах которого f (x) имеет разные знаки, и обозначаем концы этого интервала a1, b1;

4) вычисляем ;

5) из двух интервалов (а1, x1) и (x1, b1) выбираем тот, на концах которого f (x) имеет разные знаки, и обозначаем концы этого интервала a2, b2;

6) вычисляем ,

и так далее, пока не будет выполнено условие , – тогда приближенное значение корня  будет удовлетворять условию (6), т.е. решением уравнения будет число .

     Последовательность {xk}, полученная методом деления отрезка пополам, сходится к точному решению х*, если функция f (x) непрерывна на [a, b].

     Описание алгоритма метода.

1. Для k = 0 выполняем:       

.                     (7)

2. Увеличиваем номер шага k := k + 1, выполняем вычисления:

              (8.1)

          (8.2)

.                            (8.3)

3. Проверяем условие

.                                        (9)

Если условие не выполняется, переходим к пункту 2, если условие выполняется, то процесс закончен. Получаем ответ: .




⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 175.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...