Анализ цепей, составленных из неразвязанных звеньев

           Электронные цепи состоят из отдельных звеньев, соединенных между собой линиями прямой и обратной связи. В свою очередь, звенья представляют собой или макроэлементы типа представленных на рис. 4.1 и 4.2, или более сложные устройства, построенные на базе этих макроэлементов. При этом звенья могут иметь либо низкое выходное сопротивление, гораздо меньшее входных сопротивлений звеньев, – это развязанные звенья, либо этим свойством не обладать – это неразвязанные звенья.

           Примером цепи, состоящей из неразвязанных звеньев, является цепь рис. 4.3,а, где  и  – конверторы сопротивлений по схеме  рис. 4.2,а, которые совместно с  и  образуют конверторные индуктивности  и  (рис. 4.3,б).

           Анализ цепи заключается в отыскании функции передачи , входного  и выходного  сопротивлений либо в аналитическом виде (если цепь простая), либо в виде численных значений (графиков) в выбранных точках частотного диапазона анализа. Эта задача решается матричным методом, для чего достаточно составить матрицу иммитансов цепи (сопротивлений или проводимостей) и найти ее определитель и соответствующие алгебраические дополнения.

Рис. 4.3. Цепь с конверторными индуктивностями:

                        а – принципиальная схема, б – эквивалентная схема

           Матрица сопротивлений эквивалентной схемы рис. 4.3,б имеет вид

,

где  – сопротивления емкостей;  – сопротивления конверторных индуктивностей.

           Чтобы составить матрицу сопротивлений, сначала необходимо выделить независимые контуры (1, 2 и 3 на рис. 4.3,б), а затем сформировать элементы матрицы: элементы главной диагонали (a_ii) в виде суммы сопротивлений соответствующих контуров и элементы наддиагоналей (a_ij) в виде отрицательной суммы сопротивлений общих ветвей двух контуров. Элементы поддиагоналей равны соответствующим элементам поддиагоналей (a_ji = a_ij), т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали. В индексах обозначений элементов a_ij(a_ji) первая буква (цифра) – это номер строки, а вторая – номер столбца.

           Выражения функций цепей, описываемых матрицей сопротивлений, имеют вид

; ; ,

где  – определитель матрицы сопротивлений; – определитель той же матрицы, но при ;  и  – алгебраические дополнения элементов a₁₁ и a_1n (предполагается, что источник сигнала  расположен в 1-м контуре, а сопротивление нагрузки  – в n-м контуре; в схеме рис. 4.3,б , а n = 3).

Рис. 4.4. Цепь с конверторными суперемкостями:

                       а – принципиальная схема, б – эквивалентная схема

           Если число узлов в схеме меньше числа независимых контуров, как, например, в схеме рис. 4.4,а (б), то такую цепь удобнее характеризовать матрицей проводимостей:

,

где , , ; , , ; .

           Элементы главной диагонали матрицы представляют собой суммы проводимостей схемных элементов, примыкающих к i-му узлу схемы, а наддиагональные (поддиагональные) элементы – это отрицательные суммы проводимостей элементов схемы, расположенных между соответствующими узлами.

           В схеме рис. 4.4,б заземленные элементы  (суперемкости) образованы конверторами сопротивления  (по схеме КС рис. 4.2,б) и резисторами , а незаземленные элементы  – парой конверторов  и  и резисторами .

           Выражения передаточной функции , входной  и выходной  проводимостей цепей, описываемых матрицей проводимостей, имеют вид

; ; ,

где  – определитель матрицы проводимостей;  – проводимость входной цепи, в схеме рис. 4.4,а (б) ; – определитель той же матрицы, но при ;  и  – алгебраические дополнения элементов a_1n и a_nn (1 – номер входного узла, а n – номер выходного узла, в схеме рис. 4.4,а (б) n = 3);  – проводимость в узле n, т.е. с учетом проводимости , в схеме рис. 4.4,а (б) .

           Если электронная цепь содержит многополюсные макроэлементы, то матрица иммитансов такой цепи в общем случае не симметрична относительно главной диагонали, но процедура ее анализа аналогична процедуре анализа цепи с двухполюсниками. Примером такой цепи служит конвертор сопротивления (рис. 4.2), макроэлементами которого являются операционные усилители (рис. 4.5), описываемые матрицей проводимостей

,

где  – функция передачи ОУ; ;

           Анализ схем рис. 4.2 проведем в предположении идеальности ОУ, считая  не зависящим от частоты ( ), а  и  (в связи с чем для параметров разных ОУ не вводим обозначения принадлежности). С учетом матрицы проводимостей ОУ составим матрицу проводимостей конвертора  ( ):

,

где  – проводимости пассивных элементов КС.

           Задача: путем эквивалентных преобразований получить матрицу, которая описывала бы КС только со стороны внешних узлов 1 и 5. Эта задача решается за счет последовательного исключения узлов 2, 4 и 3. На каждом из этих трех этапов преобразованные элементы матрицы  определяются по формуле

,

где  – элементы преобразуемой матрицы; ;  – номер исключаемого узла.

           Учитывая свойства ОУ ( ,  и ), результирующая матрица проводимостей КС примет вид

.

           Чтобы получить выражения параметров конверторной индуктивности либо суперемкости (см. рис. 4.2), дополним эту матрицу матрицей элемента  с проводимостью :

.

           После исключения 5-го узла она примет вид

.

           Выполнив подстановку значений  пассивных элементов схем рис. 4.2,а и б, окончательно получим

; ,

откуда следуют выражения (4.1) и (4.2).