Исследование нелинейных цепей

С реактивными элементами

           В общем случае при анализе цепей, содержащих реактивные, а также нелинейные резистивные элементы, составляется система интегро- дифференциальных уравнений, в которых нелинейные элементы представлены своими аппроксимирующими функциями. Решение такой системы – задача непростая.

           Для несложных цепей, но используемых на практике, анализ можно упростить как за счет выбора простой аппроксимирующей функции нелинейного элемента, так и за счет раздельного описания процессов в цепи на отдельных временных интервалах периода задающего воздействия, соответствующих разным участкам ВАХ нелинейного элемента.

           В качестве иллюстрации сказанному исследуем электрическую цепь рис. 2.7,а, представляющую собой однополупериодный выпрямитель, состоящий из трансформатора Тр, нелинейного элемента (выпрямительного диода V,) резистора  (как эквивалента нагрузки) и конденсатора фильтра . На первичную обмотку трансформатора подается переменное напряжение

,

а с вторичной обмотки Тр снимается напряжение

,

где амплитудное значение  может быть больше или меньше  в зависимости от вида трансформатора – он может быть повышающим (вторичная обмотка содержит большее число витков, чем первичная) или понижающим.

Рис. 2.7. Однофазные выпрямители с активно-емкостной

               нагрузкой: а – однополупериодный; в – двухполупериодный

           Полагаем, что трансформатор не имеет потерь – это позволяет считать  идеальным источником напряжения. Второе допущение: будем считать, что на отрезке ВАХ выпрямительного диода (см. рис. 2.1,б) до напряжения  диод закрыт (ток через него не протекает), а при  диод ведет себя подобно линейному резистору с небольшим сопротивлением  (см. пунктир на рис. 2.1,б), т.е. ВАХ выпрямительного диода аппроксимирована кусочно-линейной функцией, состоящей из двух отрезков.

           Процессы, происходящие в цепи, можно описать следующим образом. Диод V закрыт все время, за исключением случая, когда положительное напряжение  превысит напряжение на конденсаторе  (нагрузке ) на величину , т.е. когда

.

В это время конденсатор  быстро заряжается от источника . В остальное время диод V  закрыт, и конденсатор  медленно разряжается через сопротивление нагрузки  (рис. 2.7,б).

           Быстрый заряд конденсатора  предполагает выполнение условия

,

где  – постоянная времени заряда конденсатора ,  –дифференциальное сопротивление диода, а  – период задающего напряжения . При выполнении этого условия изменение напряжения на конденсаторе  происходит по закону задающего напряжения .

           Медленный разряд конденсатора реализуется при условии

,

где – постоянная времени разряда конденсатора . Выполнение этого условия, как будет показано в дальнейшем, позволяет получить пульсации выпрямленного напряжения на низком уровне.

           Из соотношения между постоянными времени заряда и разряда  следует требование к сопротивлению нагрузки:

.

           Поскольку диод открывается только при напряжении, превышающим , максимально возможное напряжение на конденсаторе  меньше амплитудного значения  на величину , т.е.

.

Поэтому точнее будет считать, что в цепи действует напряжение

.

           Чтобы определить время заряда  и время разряда  конденсатора , запишем уравнение баланса напряжений  и в точке 1 ( ) графика на рис. 2.7,б:

,

где учтено, что разряд конденсатора  происходит по закону экспоненты

.

           Поскольку , то

,

и уравнение баланса примет вид

.

           Учитывая, что , а , функции  в этом трансцендентном уравнении можно представить их приближенными выражениями

 и ,

а само уравнение записать в виде

или

.

           Решением этого уравнения является значение , что позволяет вычислить время разряда  и минимальное напряжение  на конденсаторе  (нагрузке ), т.е. напряжение в точке 1 графика рис. 2.7,б:

.

           Среднее значение ( ) напряжения  на интервале [0, T] определится в результате интегрирования напряжения  отдельно на интервалах [0, ] и [ , T]:

.

           Отклонение  от  характеризуют понятием “пульсаций” напряжения и оценивают коэффициентом пульсаций

.

           После подстановки выражений  и

формула коэффициента пульсаций примет вид

,

откуда и вытекает требование .

           Пример расчета.  Дано: Гц; кОм; мкФ. Решение: сек; сек; сек; сек; ; ; ; % .

           В двухтактном выпрямителе, мостовая схема которого приведена на рис. 2.7,в, конденсатор фильтра  подзаряжается в два раза чаще по сравнению с тем, что имело место в схеме рис. 2.7,а. Это происходит или через открытые диоды  под действием напряжения , или через открытые диоды  под действием напряжения . Анализ схемы рис. 2.7,в аналогичен анализу схемы рис. 2.7,а, но с учетом изменения интервала анализа (см. рис. 2.7,г) – [0, ] вместо [0, T]:

           – время разряда конденсатора  –

;

           – уравнение баланса напряжений в точке 1 (рис. 2.7,г) в процессе преобразования –

,

,

,

;

           – минимальное напряжение на конденсаторе  (нагрузке ) –

;

           – среднее напряжение на нагрузке  –

;

           – приближенное выражение коэффициента пульсаций –

.

           При тех же начальных данных, что приведены в примере расчета однополупериодного выпрямителя, для двухполупериодного выпрямителя результаты расчета выглядят следующим образом: сек; сек; сек; сек; ; ; ; % . Примерно такие же значения  и  можно получить и в схеме рис. 2.7,а, но при сопротивлении нагрузки  в два раза большем.

           Как видно из выражения , выпрямители с активно-емкостной нагрузкой отличаются низкой нагрузочной способностью, поэтому они используются для питания маломощных устройств с низким потреблением тока. Значительно большей нагрузочной способностью обладают выпрямители с активно-индуктивной нагрузкой, у которых в качестве элемента сглаживающего фильтра используется катушка индуктивности (рис. 2.8,а при отсоединенном конденсаторе ).

Рис. 2.8. Однофазный мостовой выпрямитель с индуктивной нагрузкой

           В схеме рис. 2.8,а пары диодов  и  открываются поочередно на время, равное половине периода T задающего напряжения . Поэтому форма напряжения , непосредственно действующего на цепь , имеет вид, показанный на рис. 2.8,в пунктиром. Строго говоря, по причине того, что выпрямительные диоды открываются при напряжении  (см. рис. 2.1,б), вся диаграмма напряжения  смещена вниз (относительно уровня ) на величину, примерно равную , что объясняется действием ЭДС самоиндукции катушки индуктивности. Это в определенной мере можно учесть, если считать, что на входе  действует источник напряжения (см. эквивалентную схему на рис. 2.8,б) с амплитудным значением напряжения

и внутренним сопротивлением .

           Чтобы проанализировать эквивалентную схему рис. 2.8,б, представим напряжение  в виде ряда Фурье:

,

состоящем, кроме составляющей с нулевой частотой, только из четных гармоник задающего напряжения . Для каждой из составляющих методом комплексных амплитуд запишем уравнения баланса напряжений в цепи:

; ,

где, как следует из выражения ряда Фурье,

 и

– постоянная составляющая и амплитуда второй гармоники напряжения , а  – сопротивление катушки  на частоте второй гармоники тока .

           Здесь приведены только два уравнения баланса для цепи рис. 2.18,б – для постоянной составляющей тока  и для второй гармоники . Уравнения баланса для других гармонических составляющих можно составить по аналогии с уравнением для , но в данном случае этого делать не имеет особого смысла, и не только из-за того, что амплитуды высших гармоник напряжения  гораздо меньше амплитуды второй гармоники, но и по причине роста сопротивления катушки  с увеличением номера гармоники.

           Таким образом, на нагрузке  будет действовать выпрямленное (среднее) напряжение

с отклонением в ту и другую стороны на максимальную величину

,

где приближенное выражение записано для случая , а .

           Поскольку отклонение напряжения на нагрузке  двустороннее относительно , коэффициент пульсаций определится из выражения

.

Как следует из этого выражения и выражения постоянной времени , при уменьшении сопротивления нагрузки  коэффициент пульсаций выпрямителя с активно-индуктивной нагрузкой уменьшается, что является его преимуществом.

Пример расчета. Дано: Гц; Ом; Гн. Решение: сек; ; % .

Коэффициент пульсаций в схеме рис. 2.8,а можно уменьшить, если кроме катушки индуктивности  включить (параллельно ) конденсатор , как показано на рис. 2.8,а и б пунктиром.

Подключение конденсатора  приведет к следующим изменениям в выражениях, описывающих схему рис. 2.8,а (б):

– уравнение баланса для второй гармоники –

;

           – комплексная амплитуда 2-й гармоники напряжения на нагрузке –

;

           – максимальное отклонение напряжения на нагрузке от  –

;

           – коэффициент пульсаций –

.

           Так, при введении в схему рис. 2.8,а (с данными, приведенными в примере расчета) конденсатора емкостью мкФ коэффициент пульсаций уменьшится до значения 0,84 % .

Задание

           Исследовать нелинейную резистивную цепь рис. 2.9,а либо б (в зависимости от варианта – см. табл. 2.1). Нелинейный элемент задан координатами его вольт-амперной характеристики (табл. 2.2 – ВАХ выпрямительного диода; табл. 2.3 – ВАХ стабилитрона).

Рис. 2.9. Нелинейные резистивные цепи двух видов: а и б

                                                                                                                  Таблица 2.1

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Цепь	а	а	а	а	а	б	б	б	б	б
, В	4,8	5,0	5,2	5,4	5,6	8	9	10	11	12
, кОм	1,0	1,05	1,1	1,15	1,2	0,6	0,8	1,1	1,3	1,5
, Ом	4,0	4,2	4,4	4,6	4,8	2,4	3,2	4,4	5,2	5,0

                                                                                                                  Таблица 2.2

, В	-0,6	0	0,35	0,45	0,48	0,51	0,53	0,54	0,55	0,56	0,57	0,58	0,59	0,6
, мА	-0,00	0,00	0,00	0,05	0,13	0,32	0,57	0,77	1,03	1,38	1,84	2,45	3,27	4,35

                                                                                                                  Таблица 2.3

, В	-3,91	-3,87	-3,83	-3,79	-3,75	-3,72	-3,64	0	0,53	0,61	0,64	0,68	0,72	0,76	0,8
, мА	-4,13	-2,78	-1,60	-0,72	-0,23	-0,08	-0,00	0,00	0,00	0,08	0,23	0,72	1,60	2,78	4,13

           Определить токи и напряжения в цепи, если задающее воздействие – гармоническое напряжение

с амплитудой , указанной в табл. 2.1.

           Анализ провести в следующей последовательности.

           1. Рассчитать вольт-амперную характеристику объединенной пары нелинейных элементов (  в эквивалентной схеме рис 2.10,а), учитывая, что при объединении выпрямительных диодов, соединенных параллельно, суммируются токи диодов, а в случае стабилитронов, соединенных последовательно, суммируются напряжения. Результаты расчета оформить в виде таблицы 2.5 (типа табл. 2.2), где напряжение обозначить , а ток – .

           2. Для эквивалентной схемы рис. 2.10,а определить амплитуду  и внутреннее сопротивление  эквивалентного источника напряжения

:

; .

           3. Рассчитать вольт-амперную характеристику обобщенного нелинейного элемента  (рис. 2.10,б), просуммировав для каждого значения тока  элемента  напряжение  и падение напряжения на эквивалентном сопротивлении :

.

           Результаты расчета оформить в виде таблицы 2.6 (типа табл. 2.2), где напряжением является , а током – .

           4. Для указанных в табл. 2.4 значений фазового угла  рассчитать  и по этим данным из табл. 2.6 определить . Если значение  в какой-то точке ВАХ не совпадет с табличным значением , то необходимо прибегнуть к интерполяции:

,

где ;  и значения напряжения  в соседних столбцах табл. 2.6, между которыми располагается значение , а  и значения токов, соответствующих напряжениям  и .

           Полученные данные внести в итоговую таблицу (табл. 2.4).

                                                                                                                  Таблица 2.4

, В

, мА

, В

, В

           5. По известным значениям токов  табл. 2.4 из табл. 2.5 определить напряжения  и занести эти данные в табл. 2.4. Если значение  в какой-то точке ВАХ не совпадает с табличным значением , то необходимо воспользоваться интерполяцией:

,

где ;  и значения тока  в соседних столбцах табл. 2.5, между которыми находится значение , а  и значения соответствующих напряжений.

           В соответствующие строки табл. 2.4 внести значения , а также результаты расчета напряжения

.

           6. Представить в графической форме (по данным табл. 2.4) зависимости , ,  и  как функции фазового угла . Для уточнения графиков этих функций может потребоваться дополнительный расчет , ,  и  при промежуточных (по отношению к указанным в табл. 2.4) значениях k.

           В частности, необходимо учесть, что ток  равен нулю не только в точке , но и на некотором интервале , где, как следует из табл. 2.5, В в схеме с выпрямительными диодами и В в схеме со стабилитронами. Это обстоятельство требует также уточнения  и  в пределах указанного интервала изменения :

; .

           Значение фазового угла  на границах указанного интервала можно определить из выражения

.

           Таким образом, указанному интервалу изменения напряжения  можно поставить в соответствие интервалы изменения фазового угла  ( ), где ток , а напряжение  повторяет напряжение .