Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Анализ переходных процессов в электрической цепи
Переходный процесс происходит при внезапных (скачкообразных) изменениях структуры цепи или параметров ее элементов, в том числе, что наиболее важно, при отключении или включении (либо изменении параметров) задающих источников тока (напряжения). Переходные процессы возможны только в цепях, где есть емкости (конденсаторы) и/или индуктивности (катушки индуктивности), т.е. элементы, способные запасать и отдавать энергию. Запас энергии в конденсаторе определяется напряжением на нем, и это напряжение не может измениться мгновенно, в отличие от протекающего через конденсатор тока. В катушке индуктивности запас энергии определяется током, протекающим через катушку, и этот ток не может измениться мгновенно, тогда как напряжение на катушке измениться может. В классическом методе анализа реакцию цепи на внезапное изменение ее состояния (структуры либо параметров) представляют в виде суммы свободной и вынужденной составляющих, т.е. , где , и – токи либо напряжения. Вынужденная составляющая , являясь реакцией цепи на внешнее воздействие, возникшее после коммутации (изменения состояния цепи), может быть определена одним из рассмотренных выше методов анализа цепи в установившемся режиме. При отыскании свободной составляющей поступают следующим образом: – одним из методов анализа цепи в установившемся режиме определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации ( ); – для схемы, получившейся в результате коммутации, с учетом соотношений (1.1) – (1.3) составляется система интегро-дифференциальных уравнений; – в результате решения этой системы уравнений относительно заданной неизвестной (напряжения или тока ветви) получают дифференциальное уравнение цепи; – составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и записывают общий вид свободной составляющей реакции цепи; – постоянные интегрирования определяют из анализа цепи для момента времени , непосредственно следующим за моментом коммутации, когда токи индуктивностей и напряжения емкостей еще не изменились, оставаясь равными соответственно и . Классический метод анализа переходных процессов применяется для простейших цепей и при простых внешних воздействиях в виде скачка постоянного напряжения (тока) или включения в цепь источника гармонического сигнала. В общем случае используется операторный метод анализа, основу которого составляет преобразование Лапласа. Как и в случае метода комплексных амплитуд, операторный метод анализа относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями). Прямое преобразование Лапласа ставит в соответствие функции времени функцию комплексной переменной . Функция называется изображением функции , а сама функция по отношению к функции – оригиналом. Оператор преобразования можно рассматривать как обобщенную комплексную частоту ( – угловая частота; – постоянное число). Обратное преобразование Лапласа ( ) ставит в соответствие функции комплексной переменной функцию , для которой функция есть прямое преобразование Лапласа. Не всякая функция имеет обратное преобразование Лапласа. В общем случае существуют ограничения и при преобразовании функции . Прямое и обратное преобразования Лапласа обозначаются соответственно и или Некоторые свойства преобразования Лапласа (они же теоремы) приведены в табл. 1.1. Все выражения для сопротивлений элементов , установленные для обобщенных комплексных амплитуд, а также законы Ома и Кирхгофа и методы анализа цепей на их основе справедливы и для операторного метода, если под понимать не мнимую частоту, а оператор Лапласа. При этом начальные условия в виде токов индуктивностей и напряжений емкостей, существовавшие в момент коммутации, учитываются путем включения в схему дополнительных источников тока и источников напряжения . В подавляющем большинстве случаев взаимные преобразования оригиналов и изображений можно выполнить без вычисления интегралов, используя готовые решения, сведенные в таблицы (некоторые из преобразований приведены в табл. 1.2). Таблица 1.1
Для отыскания оригиналов, изображения которых представлены в виде рациональных дробей вида либо , можно воспользоваться соответственно первой либо второй теоремами разложения: либо , где n – степень полинома , которая должна быть больше степени полинома (не меньше в случае второй теоремы); – производная по p полинома ; – простые корни полинома ; , – значения полиномов при . Анализ переходных процессов операторным методом выполняется в следующей последовательности: – в схеме цепи до коммутации одним из методов анализа установившегося процесса (например символическим) определяются токи индуктивностей и напряжения емкостей, которые наблюдались в момент, непосредственно предшествующий моменту коммутации ( ); – с учетом полученных начальных значений токов и напряжений составляется операторная схема цепи; – по методу контурных токов или узловых напряжений составляется система уравнений в операторной форме; – решается эта система уравнений относительно заданных неизвестных, представленных в операторной форме; – используя табличные формулы перехода от изображения к оригиналу, получают решение в виде функций времени. В качестве примера проведем анализ переходных процессов в цепи рис. 1.11,а при скачкообразном изменении постоянного напряжения задающего источника от В до В, т.е. Задача анализа: получить зависимости токов ветвей цепи от времени при . Рис. 1.11. Цепь с коммутируемым источником постоянного напряжения Поскольку коммутируется источник постоянного напряжения, начальные значения тока индуктивности и напряжения емкости легко найти из анализа схемы рис. 1.11,а на постоянном токе (в установившемся режиме до коммутации): ; . Составим операторную схему (рис. 1.11,б) цепи рис. 1.11,а, где
; . В соответствии с 1-й строкой табл. 1.2, где приведено изображение постоянной величины, ; ; . Таблица 1.2 (a, b, c, β, γ, – различные постоянные)
В схеме рис. 1.11,б преобразуем источник тока в источник напряжения с параметром . В результате получим схему рис. 1.11,в, которую можно описать следующей системой уравнений, составленной по методу контурных токов: Решим эту систему уравнений относительно токов и : ; . Представим эти функции в таком виде: , , предварительно вычислив в соответствии с исходными данными (указаны на рис. 1.11,а) значения коэффициентов полиномов ; ; ; ; ; . Определив корни полинома , запишем функции и в табличной форме (см. табл. 1.2): ; . Если корни получаются комплексно-сопряженными (как в рассматриваемом случае), то, чтобы исключить последующие преобразования выражений и , полином представляют в таком виде: , в результате чего выражения и примут другие табличные формы: ; , (1.8) в соответствии с которыми (строка 6 при и строка 8 табл. 1.2) ; (1.9) , (1.10) где ; ; ; ; . Вычислив все постоянные величины: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , временные зависимости токов и запишем в окончательном виде [мА]; [мА] (угол φ измеряется в радианах). При расчете углов φ и ψ по формулам, приведенным в табл. 1.2, необходимо учитывать знаки числителя y и знаменателя x аргумента функции , т.е. в какой четверти тригонометрического круга эта функция определена: если , то ( может быть как положительным, так и отрицательным). Операторный ток ветви, содержащей сопротивление , как видно из рис. 1.11,в, равен разности токов и , описываемых выражениями (1.8), т.е. . Это выражение отличается от выражения для только коэффициентом , поэтому оригинал изображения
отличается от (1.10) исключительно значениями коэффициентов A, B и φ: (в формулы для A, B и φ вместо b подставляется ). В результате выражение функции времени тока будет иметь вид [мА]. Рис. 1.12. Переходные процессы при коммутации источника постоянного напряжения Графики функций , и приведены на рис. 1.12,а, б и в. Как видно из графиков, в цепи рис. 1.11,а (при указанных значениях параметров элементов) в результате коммутации источника постоянного напряжения происходит затухающий колебательный процесс с частотой Гц ( радиан/сек). При этом ток как при , так и при , тогда как мкА, а мкА, что, естественно, соответствует расчетным значениям (время – это момент коммутации, а не начало оси абсцисс на графиках рис. 1.12). Первый максимум на графике (рис. 1.12,б) соответствует моменту мсек, а на графике (рис. 1.12,в) – моменту мсек. В качестве другого примера исследуем переходный процесс в той же цепи рис. 1.11,а, но при коммутации источника гармонического сигнала: где В; ; Гц. Поскольку начальные условия нулевые, операторная схема цепи рис. 1.13,а примет вид, показанный на рис. 1.13,б, где (см. строку 3 табл. 1.2 при ). Рис. 1.13. Цепь с коммутируемым источником гармонических колебаний Запишем систему уравнений по методу контурных токов: и решим ее относительно неизвестных и : ; . Запишем эти выражения в таком виде: , , где ; ; ; ; . Определив корни полинома , представим функции и в табличной форме: ; . (1.11) В соответствии с 10-й строкой табл. 1.2, учитывая, что коэффициент с в формулах (1.11) равен нулю (а в формуле для равен нулю еще и коэффициент a), получим следующие выражения временных зависимостей токов: (1.12) где ; ; ; ; ; ; ; ; ; . После расчета значений всех постоянных величин – ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; – функции (1.12) примут окончательный вид: Как видно из этих выражений и соответствующих графиков на рис. 1.14,б и в, при коммутации источника гармонического сигнала в цепи рис. 1.13,а ток емкости (и индуктивности) будет состоять из двух, наложенных друг на друга, составляющих, одна из которых представляет собой вынужденные гармонические колебания с частотой а другая – свободную составляющую в виде затухающих колебаний с частотой . Рис. 1.14. Переходные процессы при коммутации источника гармонического сигнала Если требуется получить временные зависимости напряжений на емкости и индуктивности, то в соответствии с формулами (1.2) и (1.3) необходимо выполнить соответственно операции интегрирования и дифференцирования токов и : ; , где – напряжение на емкости в момент коммутации. Так, к примеру, в схеме рис. 1.11,а на основании выражений (1.9) и (1.10) получаются следующие функции: ; , где ; . Функции и можно также найти, исследуя операторную схему цепи относительно операторных напряжений и с последующим преобразованием их выражений. Задания 1.6.1. Задание 1 Методом узловых напряжений или контурных токов получить выражения и определить значения напряжений и токов ветвей цепи рис. 1.15 соответствующего варианта (в1 – в10). Параметры элементов цепи: ; ; ; ; ; ; ; . Рис. 1.15. Схемы электрических цепей к заданию 1 1.6.2. Задание 2 1. Проанализировать цепь рис. 1.16 соответствующего варианта методом узловых напряжений (в1 – в5) или контурных токов (в6 – в10), получив выражение напряжения ветви ( ). 2. По данным параметров элементов цепи рассчитать значение функции передачи на частоте и представить это значение в показательной форме: , где , . 3. Вычислить комплексную амплитуду напряжения , где , . Рис. 1.16. Схемы электрических цепей к заданию 2 Данные элементов схем рис. 1.16,в1 – в5: ; ; ; ; ; для в1–в2 и для в3–в5. Данные элементов схем рис. 1.16,в6 – в10: ; ; ; ; ; ; ; ; . Данные задающего источника: . 1.6.3. Задание 3 1. Исследовать переходный процесс в цепи рис. 1.17 соответствующего варианта (в1 – в10), получив выражения токов и . 2. Представить графики зависимостей токов и как функций времени . Исходные данные. Параметры элементов схемы: мкФ; Гн; кОм; Ом; кОм; кОм. Задающее воздействие: либо где В; В; В; ; Гц. Рис. 1.17. Схемы электрических цепей к заданию 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 212. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |